结论前置：当公司不支付经济补偿时，劳动者完全有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细解析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条的规定，因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议，均属于劳动争议仲裁委员会的受理范围。这意味着，如果公司未按照法律规定支付经济补偿，劳动者可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

二、适用情形

在《中华人民共和国劳动合同法》中，明确规定了多种用人单位应当向劳动者支付经济补偿的情形，包括但不限于：

1. 劳动合同期满终止：除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意，否则固定期限劳动合同终止时，公司需支付经济补偿金。若公司降低条件导致员工不续签或直接决定不续签而未支付补偿金，员工可申请仲裁。
2. 用人单位被依法宣告破产等：若公司因被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散而终止劳动合同，应支付经济补偿金。拒绝支付时，员工有权申请仲裁。
3. 无过失性辞退：如劳动者因病或非因工负伤无法继续工作，或不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且协商未果，用人单位辞退时需支付经济补偿金。若不支付，劳动者可申请仲裁。
4. 经济性裁员：在公司进行重整、生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等情形下，若需裁减人员二十人以上或虽不足二十人但占企业职工总数百分之十以上，应支付经济补偿金。未支付时，员工可申请仲裁。

三、申请仲裁前的准备

1. 证据收集：劳动者应准备好相关证据材料，如劳动合同、工资支付记录、工作证、离职证明、与公司就经济补偿金沟通协商的记录（如邮件、聊天记录、通话录音等），以证明自己与公司存在劳动关系以及公司应支付经济补偿金的事实和金额计算依据。
2. 材料准备：包括仲裁申请书、身份证复印件、相关证据复印件和证据清单、用人单位的工商登记信息等。

四、申请仲裁的流程

1. 提交申请：前往当地人力资源和社会保障局（原劳动局）内的劳动争议仲裁委提交材料申请劳动仲裁。
2. 受理与通知：仲裁委收到申请后，会在规定时间内审查并决定是否受理。若决定受理，会在5日内将申请书副本送达被申请人，并要求被申请人在10日内提交答辩书。
3. 开庭审理：仲裁庭会确定开庭日期并通知双方。庭审过程中，双方将进行陈述、举证、质证和辩论。
4. 调解与裁决：仲裁庭在作出裁决前，会尝试进行调解。若调解成功，则制作调解书；若调解不成，则根据审理情况依法作出裁决。裁决书自作出之日起发生法律效力，当事人需按裁决结果履行相应义务。

五、仲裁时效

劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。若因不可抗力或有其他正当理由导致不能在规定时效内申请仲裁，时效可中止或中断。

六、后续救济途径

1. 提起诉讼：若对仲裁结果不满意，劳动者可在规定时间内向人民法院提起诉讼，要求法院判令公司支付拖欠的经济补偿金及可能产生的滞纳金或赔偿金。
2. 向劳动行政部门投诉：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十五条的规定，用人单位解除或者终止劳动合同，未依照本法规定向劳动者支付经济补偿的，由劳动行政部门责令限期支付经济补偿；逾期不支付的，责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。劳动者还可以向劳动行政部门投诉，通过这一途径维护自身权益。

在整个过程中，劳动者应保持冷静、理性，并充分准备相关证据材料。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。