在遇到路人吵架并报警，但其中一方已经离开且没有动手的情况下，派出所的处理方式通常会遵循一系列有序且合法的步骤。以下是对这一情况的详细解析：

首先，派出所民警在接到报警后，会迅速赶赴现场。他们的首要任务是制止任何可能的争吵或冲突行为，确保现场的安全和秩序。尽管其中一方已经离开，民警仍会与留在现场的当事人以及可能的现场证人进行沟通，全面了解争吵的起因、经过和具体情况。

接下来，民警会根据了解到的信息，尝试进行调解。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于情节较轻的民间纠纷引起的争吵，公安机关可以首先尝试通过调解来处理。调解的目的是化解矛盾，促进双方的和解。如果经调解双方达成协议，并且后续能够履行完毕，那么派出所通常不会再进行其他处罚。

然而，如果调解未能成功，或者民警在了解情况后发现存在其他违法行为，如公然侮辱他人或寻衅滋事等，那么派出所将依法进行进一步处理。对于情节较轻且未造成严重后果的争吵，民警可能会对双方当事人进行批评教育，提醒他们保持冷静，通过和平方式解决问题。这可能包括要求双方当场互相道歉或达成某种和解协议。

如果争吵行为构成了治安违法行为，如公然侮辱他人或寻衅滋事，那么警方将依法给予行政处罚，这可能包括拘留或罚款。此外，如果调解未能达成协议，或者双方虽然达成协议但后续未履行，也可能面临行政处罚。

在极少数情况下，如果吵架行为升级为公然侮辱他人或捏造事实诽谤他人，且情节严重，可能构成侮辱罪或诽谤罪。此时，行为人需要承担刑事责任。不过，这种情况在吵架未动手且一方已离开的场景下相对罕见。

总的来说，派出所在处理这类吵架事件时，会严格遵循法律法规，确保双方的合法权益得到保障。处理过程中，民警会综合考虑争吵的情节、后果以及双方的行为表现，采取最合适的处理方式。调解是首选方式，旨在化解矛盾，促进和谐。但在必要时，也会依法进行处罚，以维护社会秩序和公共安全。因此，即使一方已经离开，派出所仍会积极处理此类事件，确保公正和合法。