结论：公司资金垫付农民工工资后无法追回的问题，需分情况讨论。若垫付行为合法且符合约定，公司可通过协商、诉讼等途径追偿；若垫付行为本身存在违法或违规情形，则可能面临法律风险及追偿困难。以下为详细分析：
一、合法垫付情形下的追偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，用人单位有义务按时足额支付劳动者工资。若公司因特殊原因（如发包方未按时支付工程款）需垫付农民工工资，且该垫付行为得到农民工或相关方的认可，并签订了书面协议，则公司有权在垫付后向责任方追偿。
追偿途径：
- 协商：公司可首先尝试与农民工或相关责任方（如发包方）进行协商，明确垫付事实及追偿意愿，寻求和解。
- 诉讼：若协商无果，公司可依据书面协议或相关证据，向人民法院提起诉讼，要求责任方偿还垫付的工资及可能产生的利息或损失。
注意事项：
- 公司在垫付前应确保与农民工或相关方签订书面协议，明确垫付金额、还款期限、违约责任等条款，以便在追偿时有据可依。
- 公司在追偿过程中应保留好相关证据，如垫付凭证、书面协议、沟通记录等，以支持其主张。
二、违法或违规垫付情形下的风险
法律风险：
- 若公司垫付农民工工资的行为违反了相关法律法规（如未经批准擅自挪用资金、虚假垫付等），则可能面临行政处罚或刑事责任。
- 在此情形下，公司即使垫付了工资，也可能因行为违法而无法获得法律保护，导致追偿困难。
追偿困难：
- 若公司垫付行为存在违法或违规情形，农民工或相关方可能以此为由拒绝偿还垫付的工资。
- 即使公司提起诉讼，法院也可能因行为违法而驳回其诉讼请求，导致公司无法追回垫付的资金。
三、建议与措施
合法合规操作：
- 公司在垫付农民工工资前，应确保行为合法合规，遵守相关法律法规及公司内部规定。
- 若需垫付，应与农民工或相关方签订书面协议，明确双方权利义务，以便在追偿时有据可依。
加强风险管理：
- 公司应建立健全的风险管理制度，对垫付行为进行严格审批和监管，防止违法或违规情形的发生。
- 公司可定期对垫付行为进行审计和检查，确保资金安全及合规性。
寻求法律帮助：
- 若公司在垫付农民工工资后遇到追偿困难或法律纠纷，应及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自身权益。
四、特殊情况下的处理
- 若公司因发包方未按时支付工程款而垫付农民工工资，且发包方存在违约行为，公司可依据与发包方签订的合同及相关法律法规，向发包方主张违约责任及赔偿损失。
- 若公司垫付行为涉及多个责任方（如发包方、分包方等），公司可根据实际情况选择向其中一个或多个责任方追偿，但需注意避免重复追偿或遗漏责任方。
最后，公司在垫付农民工工资时应谨慎操作，确保行为合法合规，并签订书面协议以明确双方权利义务。若遇到追偿困难或法律纠纷，应及时寻求专业律师的帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。