结论：在您描述的情况下，仲裁能否管辖取决于第二年合同中仲裁条款的效力以及双方是否就争议解决方式达成了新的合意。如果第二年合同的仲裁条款有效且双方未就争议解决方式作出其他约定，则仲裁机构有权管辖两年业务延续期间产生的争议。
分析说明：
合同自治原则：
- 合同是双方意思自治的体现，双方有权在合同中约定争议解决方式，包括选择仲裁或诉讼。
- 在您的情况下，第一年合同约定了法院管辖，而第二年合同则变更为了仲裁管辖。这种变更本身并不违反法律规定，只要双方达成合意且仲裁条款符合法定形式要件，即具有法律效力。
仲裁条款的独立性：
- 仲裁条款具有独立性，即合同中的仲裁条款不因合同其他条款的无效或变更而无效。
- 因此，即使第二年合同与第一年合同在业务内容上具有延续性，但仲裁条款的效力是独立的，只要符合法定条件，即可单独生效。
争议解决方式的变更：
- 双方在第二年合同中约定仲裁管辖，可以视为对第一年合同中法院管辖条款的变更。
- 如果双方未就争议解决方式作出其他约定，且第二年合同的仲裁条款有效，则仲裁机构有权管辖两年业务延续期间产生的争议。
可能的例外情况：
- 如果双方在第二年合同中虽然约定了仲裁管辖，但同时约定了其他与仲裁相冲突的条款（如同时约定了法院管辖），或者仲裁条款本身存在无效情形（如未约定仲裁机构、仲裁事项不明确等），则仲裁条款可能无法生效。
- 此外，如果双方在争议发生后，通过书面协议或其他方式变更了争议解决方式，也可能影响仲裁机构的管辖权。
法律建议：
审查仲裁条款：
- 仔细审查第二年合同中的仲裁条款，确保其符合法定形式要件，如约定了明确的仲裁机构、仲裁事项等。
确认双方合意：
- 确认双方是否就争议解决方式达成了新的合意，且该合意未违反法律规定或损害第三方利益。
准备相关证据：
- 如果发生争议并准备通过仲裁解决，应准备相关证据材料，如合同文本、往来函件、交易记录等，以证明仲裁条款的效力及双方的实际交易情况。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂合同纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。虽然我不能直接给出联系方式，但您可以直接向我提问，我会根据您提供的情况给出专业的法律意见。
可能后果：
- 如果仲裁条款有效且双方未就争议解决方式作出其他约定，则仲裁机构将有权管辖两年业务延续期间产生的争议，并作出具有法律效力的裁决。
- 如果仲裁条款无效或双方就争议解决方式作出了其他约定，则可能需要通过诉讼等其他方式解决争议。