结论：关于入职第三个月让签实习协议书后能否索要两倍工资的问题，这主要取决于您与公司之间的实际劳动关系情况以及该实习协议书的性质和内容。若该实习协议书被认定为无效或未实际履行，且您与公司之间存在事实劳动关系，同时公司未与您签订书面劳动合同，则您有权索要未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额。以下是对此问题的详细分析：
一、实习协议书的性质与效力
实习协议与劳动合同的区别：
- 实习协议通常适用于学生实习或非全日制员工等特定情况，其性质与劳动合同有所不同。
- 劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议，具有更强的法律约束力。
实习协议书的效力：
- 如果实习协议书的内容不符合劳动合同法的规定，或者未实际履行，那么该协议书可能被视为无效或未生效。
- 特别是如果协议书中的条款与实际情况不符，或者存在欺诈、胁迫等情形，那么该协议书可能被撤销或宣告无效。
二、事实劳动关系的认定
事实劳动关系的存在：
- 即使未签订书面劳动合同，只要您与公司之间存在实际的用工关系，即您为公司提供了劳动，公司接受了您的劳动并支付了报酬，那么就可以认定存在事实劳动关系。
事实劳动关系的法律后果：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
三、索要双倍工资的条件与计算
索要双倍工资的条件：
- 您需要证明与公司之间存在事实劳动关系。
- 您需要证明公司未与您签订书面劳动合同。
- 您需要证明公司未支付双倍工资差额（如果已支付部分工资，则只需索要差额部分）。
双倍工资的计算：
- 双倍工资的计算基数通常是您的月工资收入。
- 计算期间是从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或者至劳动关系解除/终止之日止（以先到者为准）。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × (未签订书面劳动合同的月数 - 1)（如果已支付部分工资，则减去已支付部分）。
四、建议与行动
收集证据：
- 收集能够证明您与公司之间存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
- 收集能够证明公司未与您签订书面劳动合同的证据，如实习协议书（如果其性质被认定为无效或未实际履行）、公司通知或公告等。
与公司协商：
- 在收集到足够证据后，您可以先尝试与公司进行协商，要求公司支付双倍工资差额。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付双倍工资差额。
寻求法律帮助：
- 在整个过程中，如果您遇到任何法律问题或困惑，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此上述分析仅供参考。在实际操作中，您需要根据自己的具体情况和当地法律法规的规定来制定合适的策略。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。