和用工单位解除劳动关系后，若存在劳动纠纷，是可以到劳动监察部门投诉的，但并非所有解除劳动关系的情况都需要或适合通过劳动监察部门解决。以下从不同角度为你详细分析：

一、劳动监察部门的职责与受理范围

劳动监察部门，即劳动保障监察机构，主要负责监督用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的情况，依法纠正和查处违法行为。其受理范围通常包括：

1. 用人单位制定内部劳动保障规章制度的情况；
2. 用人单位与劳动者订立劳动合同的情况；
3. 用人单位遵守禁止使用童工规定的情况；
4. 用人单位遵守女职工和未成年工特殊劳动保护规定的情况；
5. 用人单位遵守工作时间和休息休假规定的情况；
6. 用人单位支付劳动者工资和执行最低工资标准的情况；
7. 用人单位参加各项社会保险和缴纳社会保险费的情况；
8. 职业介绍机构、职业技能培训机构和职业技能考核鉴定机构遵守国家有关规定的情况；
9. 法律、法规规定的其他劳动保障监察事项。

若解除劳动关系后，你认为用工单位存在上述违法行为，如未支付工资、未缴纳社会保险等，可以向劳动监察部门投诉。

二、解除劳动关系后的纠纷解决途径

解除劳动关系后，若双方存在纠纷，除了向劳动监察部门投诉外，还可以通过以下途径解决：

1. 协商：双方可以尝试通过友好协商的方式解决纠纷，这是最直接、最快捷的方式。
2. 调解：若协商不成，可以寻求第三方调解机构的帮助，如企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织等。
3. 仲裁：若调解不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁是解决劳动争议的重要途径，其裁决具有法律效力。
4. 诉讼：若对仲裁裁决不服，可以向人民法院提起诉讼。诉讼是解决劳动争议的最终途径，其判决具有强制执行力。

三、何时选择向劳动监察部门投诉

在以下情况下，选择向劳动监察部门投诉可能更为合适：

1. 用工单位存在明显违法行为：如未支付工资、未缴纳社会保险等，且你希望快速得到处理结果。
2. 你希望保留与用工单位的和解可能性：劳动监察部门的介入往往能促使双方更快地达成和解。
3. 你希望避免仲裁或诉讼的繁琐程序：与仲裁或诉讼相比，向劳动监察部门投诉的程序相对简单，处理周期也较短。

四、注意事项

1. 投诉前准备：在向劳动监察部门投诉前，建议收集好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以证明你的主张。
2. 投诉时限：根据《劳动保障监察条例》的规定，违反劳动保障法律、法规或者规章的行为在2年内的，劳动保障行政部门应当依法查处。因此，投诉时需注意时限问题。
3. 后续跟进：投诉后，建议保持与劳动监察部门的沟通，及时了解处理进展，并根据需要提供补充证据或信息。

总之，和用工单位解除劳动关系后，若存在劳动纠纷，你可以根据具体情况选择合适的解决途径。若用工单位存在明显违法行为，且你希望快速得到处理结果，向劳动监察部门投诉是一个不错的选择。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。