针对您提出的问题，结论如下：

1. 关于处理方式：十三岁的孩子盗窃一千元，由于未达到刑事责任年龄（根据《中华人民共和国刑法》第十七条，已满十二周岁不满十四周岁的人，犯故意杀人、故意伤害罪，致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾，情节恶劣，经最高人民检察院核准追诉的，应当负刑事责任；对于盗窃等犯罪，不负刑事责任），因此不会受到刑事处罚，但可能会受到公安机关的训诫，或者由政府收容教养（不过实践中收容教养的适用较为严格，一般针对情节较为恶劣、有再犯风险的情况），更常见的是责令其家长或者监护人加以管教。

2. 关于前科记录：由于孩子未达到刑事责任年龄，不会留下刑事前科记录。刑事前科记录是指因犯罪被法院判处刑罚后留下的记录，而此情况下孩子不会受到刑事处罚，因此不会有前科。

3. 关于信息传播至学校及老家派出所：

   • 学校方面：一般情况下，此类信息不会主动传播至学校。公安机关在处理未成年人案件时，会遵循保护未成年人隐私的原则，不会随意将案件信息泄露给无关第三方，包括学校。但如果学校因其他原因（如孩子在校表现异常，家长主动告知等）得知此事，并出于教育目的进行适当引导，这是另一回事。
   • 老家派出所方面：同样，此类信息也不会主动传播至老家派出所。公安机关的案件信息管理是严格的，不会随意将案件信息跨地区传播，除非涉及跨地区协作办案等特殊情况。

进一步解释与建议：

• 教育引导：虽然孩子不会受到刑事处罚，但盗窃行为是不道德的，也是违法的（尽管未达到刑事责任年龄）。作为家长或监护人，应当加强对孩子的教育和引导，帮助其树立正确的价值观和道德观，避免再次发生类似行为。
• 法律意识：可以借此机会向孩子普及一些基本的法律知识，让其了解哪些行为是违法的，以及违法行为的后果。这有助于孩子增强法律意识，自觉遵守法律法规。
• 隐私保护：如果担心案件信息被泄露或传播，可以与公安机关沟通，要求其严格遵守保护未成年人隐私的原则，不将案件信息泄露给无关第三方。

总结：十三岁的孩子盗窃一千元，由于未达到刑事责任年龄，不会受到刑事处罚，也不会留下刑事前科记录。同时，此类信息一般不会主动传播至学校或老家派出所。作为家长或监护人，应当加强对孩子的教育和引导，帮助其树立正确的价值观和道德观。如果您还有其他法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。