您好，关于行政机关是否可以使用非邮政方式寄送文件的问题，确实存在相关案例和明确的法律规定。

首先，根据《中华人民共和国邮政法》第五十五条的规定：“快递企业不得经营由邮政企业专营的信件寄递业务，不得寄递国家机关公文。”这一条款明确划定了法律“红线”，即国家机关公文必须通过邮政企业，特别是邮政“EMS”特快专递或挂号信的方式进行邮寄。

接下来，我为您分享两个具体案例以进一步说明：

1. 西青区市场和质量监督管理局案例： 在该案例中，西青区市场和质量监督管理局通过“顺丰速运”方式送达了《关于对举报调查结果的回复》。然而，这一行为被刘某认为违法，并提起了行政复议。尽管复议机关最终以刘某的合法权益未受到侵害为由未受理其复议申请，但明确指出西青区市场和质量监督管理局通过“顺丰速运”邮寄文书的行为并不符合法律规定。

2. 兰州市市场监管局案例： 兰州市市场监管局在处理一起举报投诉时，虽然及时进行了调查并做出了答复，但选择通过申通快递方式邮寄答复书。这一行为被甘肃省市场监管局在审理行政复议案件时确认违法，并责令其限期重新送达。

这两个案例都清晰地表明，行政机关在邮寄国家机关公文时，必须严格遵守法律规定，选择邮政“EMS”特快专递或挂号信的方式，而不能使用其他快递公司。

此外，我还想强调的是，使用邮政企业寄递国家机关公文不仅是为了遵守法律规定，更是为了保障国家机关公文的通信安全和公众及私人的信息安全。邮政企业在这方面具有独特的优势和责任，能够确保公文的准确、及时、安全送达。

因此，对于您的问题，“行政机关不用邮政寄文件”是否有案例，答案是肯定的。上述两个案例就是明确的例证，它们都展示了行政机关因未使用邮政方式寄送文件而被确认违法的情形。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。