结论：老赖（即失信被执行人）对其所抚养的儿子，在抚养期间是负有抚养责任的。这种责任不因其被列为失信被执行人而消除。不过，若老赖因失信行为导致经济状况恶化，可能影响其实际履行抚养责任的能力。
分析说明：
抚养责任的法律基础：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这种义务是法定的，不因父母的经济状况或信用状况而改变。
- 抚养责任包括提供生活费、教育费、医疗费等必要费用，以及给予子女必要的关爱和照顾。
老赖身份对抚养责任的影响：
- 老赖被列为失信被执行人，通常是因为其未履行生效法律文书确定的义务，如未偿还债务等。这并不影响其作为父母对子女的法定抚养责任。
- 然而，老赖的失信行为可能导致其经济状况恶化，如财产被查封、冻结或拍卖，收入减少等，从而影响其实际履行抚养责任的能力。
实际履行中的考虑因素：
- 如果老赖因失信行为导致经济困难，无法直接支付抚养费，可以与子女另一方父母协商，寻求其他抚养方式，如由另一方父母暂时承担更多抚养责任，或通过社会救助等途径解决。
- 在极端情况下，如果老赖确实无力履行抚养责任，且子女另一方父母也无法承担，可以考虑向法院申请变更抚养关系或寻求其他法律救济途径。
特殊场景：
- 如果老赖的失信行为直接涉及到对子女的侵害，如挪用子女教育费用、拒绝支付医疗费用等，那么这种行为不仅违反了抚养责任，还可能构成对子女权益的侵害，需要承担相应的法律责任。
行动建议：
- 对于老赖来说，应尽力履行抚养责任，即使经济困难也应与子女另一方父母积极沟通，寻求解决方案。
- 对于子女另一方父母来说，如果老赖无法履行抚养责任，可以与其协商或通过法律途径解决，确保子女的合法权益得到保障。
- 如果双方无法达成一致，可以向法院提起诉讼，要求老赖履行抚养责任或变更抚养关系。
法律后果：
- 如果老赖拒不履行抚养责任，子女另一方父母可以向法院申请强制执行，要求老赖支付抚养费或采取其他必要措施。
- 在极端情况下，如果老赖的行为构成犯罪（如虐待、遗弃等），还可能面临刑事责任的追究。
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