结论：在您描述的情况下，公司是否可以解聘员工，取决于解聘的理由是否合法以及是否遵循了相应的程序。若公司以合法理由且遵循正确程序解聘，则是可以的；反之，则可能构成违法解聘，需要承担相应的法律责任。以下从多个角度为您详细分析：
一、合法解聘的情形
员工不符合录用条件：
- 如果公司在招聘时明确告知了录用条件，并且在试用期内对员工进行了考核，发现员工不符合这些条件，那么公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但关键在于，公司需要保留好招聘文件、考核记录等相关证据，以证明员工的不符合情况。
- 在您的情况下，虽然员工已经过了试用期并工作了五个月，但如果公司能证明员工在试用期内就不符合录用条件，且这一情况在试用期内未被发现或未及时处理，理论上公司仍有可能以此为由解聘员工。不过，这种情况在实践中较为少见，且需要公司有充分的证据支持。
员工严重违反规章制度：
- 如果公司的规章制度经过民主程序制定，并已向员工公示，且员工存在多次无故旷工、严重违反保密制度等行为，公司有权辞退员工。
- 在您的情况下，如果员工存在严重违反规章制度的行为，公司可以以此为由解聘员工，但同样需要提供员工知晓规章制度及违反行为的相关证据。
员工严重失职或营私舞弊：
- 如果员工在试用期内或正式工作期间因严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害，公司有权辞退员工。
- 在您的情况下，如果员工存在此类行为，并给公司造成了重大损害，公司可以以此为由解聘员工。但“重大损害”的具体标准应明确，并能证明员工的失职或营私舞弊行为与损害之间存在因果关系。
其他法定情形：
- 如员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正的；员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使劳动合同无效的；员工被依法追究刑事责任的等。
- 在您的情况下，如果员工存在这些情形之一，公司也有权解聘员工。
二、解聘的程序要求
提前通知与说明理由：
- 除员工不符合录用条件或存在其他法定过错情形外，公司通常需提前通知员工并说明辞退的理由和依据。提前通知的天数应符合法律规定和合同约定。
- 在您的情况下，如果公司决定解聘员工，应提前通知员工并说明理由，以确保程序的合法性。
支付经济补偿或赔偿金：
- 如果员工不存在过错情形，而公司因其他合法原因解聘员工（如经济性裁员等），应向员工支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 如果公司违法解聘员工（如无故辞退或未提前通知等），员工有权要求公司支付赔偿金，通常为经济补偿标准的二倍。
- 在您的情况下，如果公司决定解聘员工且员工不存在过错情形，公司应支付相应的经济补偿；如果公司违法解聘员工，则需支付赔偿金。
三、特殊情况考虑
- 员工即将退休：
- 在您的情况下，员工还有三个月退休。虽然这并不构成公司不能解聘员工的法定理由，但公司在解聘时应更加谨慎，确保解聘行为的合法性和合理性。
- 如果公司决定解聘即将退休的员工，应充分考虑员工的实际情况和权益保障问题，避免引发不必要的劳动纠纷。
四、建议与风险提示
公司方面：
- 在决定解聘员工前，公司应仔细审查解聘的理由是否合法、程序是否合规，并准备好相关证据以支持解聘决定。
- 公司应与员工进行充分沟通，说明解聘的理由和依据，并尽量达成和解协议以减少劳动纠纷的风险。
员工方面：
- 如果员工认为公司的解聘行为不合法或不合理，可以与公司进行协商或向劳动仲裁机构申请仲裁以维护自己的合法权益。
- 员工在申请仲裁时，应提供充分的证据以支持自己的主张，如劳动合同、工资单、考核记录、规章制度等。
最后，劳动纠纷的处理往往涉及复杂的法律问题和证据收集工作。如果您或公司在此方面遇到困难或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和解决方案。