结论：员工自身疾病，公司是否有责任及如何赔偿，需根据具体情况来判断，主要包括是否构成工伤、是否属于非因工负伤两种情况。
一、是否构成工伤
构成工伤的情况：
- 根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。这种情况下，公司需要按照工伤保险的相关规定进行赔偿，包括但不限于丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 若员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害，且该伤害与自身疾病有关联（如因工作劳累诱发疾病等），也可能被认定为工伤。此时，公司同样需要承担工伤保险责任。
不构成工伤的情况：
- 如果员工自身疾病并非在工作过程中发生，或者与工作无直接关联，那么通常不被认定为工伤。在这种情况下，公司一般不需要承担工伤保险责任。
二、非因工负伤的情况
医疗期内的待遇：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，企业应根据员工本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定的医疗期。
- 在医疗期内，公司不得解除劳动合同，并应按照不低于当地最低工资标准的80%支付员工病假工资或疾病救济费。
医疗期满后的处理：
- 医疗期满后，如果员工不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。
- 在这种情况下，公司需要按照员工在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。如果员工月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、特殊情况下的责任
- 如果公司未依法为员工缴纳社会保险费，导致员工无法享受社会保险待遇的，公司需要承担相应的赔偿责任。例如，如果员工因自身疾病需要医疗，但因公司未缴纳医疗保险而无法报销医疗费用，公司可能需要承担这部分费用。
建议：
- 对于员工而言，如果发生自身疾病的情况，应及时与公司沟通，了解自己的权益和待遇。同时，保留好相关医疗证明和费用单据，以便在需要时维护自己的合法权益。
- 对于公司而言，应依法为员工缴纳社会保险费，确保员工在患病或非因工负伤时能够享受相应的社会保险待遇。同时，在处理员工医疗期和解除劳动合同等问题时，应遵守相关法律法规的规定，避免引发劳动纠纷。
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