结论前置：员工打架若构成严重违反公司规章制度或严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司可以依法解聘该员工。以下是具体分析：
依据公司规章制度解聘
- 规章制度需合法有效：公司应首先确保其制定的规章制度是合法有效的，即规章制度的内容不违反法律法规的强制性规定，且制定程序合法，如经过职工代表大会或全体职工讨论、协商确定，并已向员工公示或告知。
- 打架行为属于严重违反规章制度：在规章制度中，公司应明确将打架等暴力行为列为严重违反规章制度的行为，并规定相应的处罚措施，包括解聘。若员工打架行为确实严重违反了公司的规章制度，公司可以依据规章制度的规定解聘该员工。
依据《劳动合同法》解聘
- 严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害：如果员工打架行为不仅违反了公司规章制度，还构成了严重失职或营私舞弊，且给公司造成了重大损害，公司可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定，无需提前通知员工，直接解聘该员工。
- 以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动：虽然这一条款主要针对的是强迫劳动的行为，但如果员工打架行为严重到构成对其他员工或公司管理人员的暴力威胁，且影响了公司的正常生产经营秩序，公司也可以考虑以此为由解聘员工，但这种情况较为特殊，需要具体分析。
解聘程序需合法
- 通知工会：在解聘员工前，公司应事先将理由通知工会。如果公司未设立工会，则应通过其他方式，如向当地劳动行政部门报告，来履行这一程序。
- 出具解除劳动合同证明：解聘员工后，公司应出具解除劳动合同的证明，并在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。
- 支付经济补偿（如适用）：如果解聘员工并非因为员工严重违反规章制度或严重失职、营私舞弊等情形，而是因为公司经营状况变化等原因，公司可能需要支付经济补偿。但在员工打架的情况下，通常不属于需要支付经济补偿的情形。
注意事项
- 收集证据：在解聘员工前，公司应收集充分的证据证明员工确实存在打架行为，且该行为严重违反了公司规章制度或给公司造成了重大损害。
- 避免违法解聘：公司在解聘员工时，应确保解聘行为合法合规，避免因违法解聘而承担法律责任。
建议：在处理员工打架事件时，公司应首先保持冷静，收集相关证据，并依据公司规章制度和法律法规的规定，合法合规地处理此事。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。