结论：父子二人共同殴打他人，即使派出所已经立案介入，双方私下和解（私了）在法律上是有一定可能性的，但需满足一定条件并遵循法定程序，且私了并不意味着案件就此了结，仍需接受公安机关的进一步处理。

法律背景与建议：

1. 私了的法律基础与限制：

   • 在刑事案件中，私了通常指的是双方当事人自行协商解决纠纷，不通过司法程序。然而，对于涉及人身伤害的刑事案件，如故意伤害罪，私了并不是完全自由的。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于轻微刑事案件，如故意伤害致人轻伤，且犯罪嫌疑人、被告人真诚悔罪，通过向被害人赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解，被害人自愿和解的，双方当事人可以和解。但此和解需在公安机关、人民检察院、人民法院的主持下进行，并制作和解协议书。
   • 关键点：私了需在司法机关主持下进行，且需满足被害人自愿、犯罪嫌疑人真诚悔罪等条件。

2. 派出所立案后的处理流程：

   • 派出所立案后，会依法进行调查取证，包括询问当事人、证人，收集相关证据等。
   • 根据调查结果，如果认为构成犯罪，会依法将案件移送至人民检察院审查起诉。
   • 在此过程中，即使双方有和解的意愿，也需通过司法机关进行，不能私下达成协议并期望案件就此了结。

3. 私了的可能后果：

   • 成功和解：如果双方在司法机关主持下成功和解，且犯罪情节轻微，可能依法不追究刑事责任或者对犯罪嫌疑人、被告人从宽处理。但这并不意味着案件完全结束，司法机关仍可能根据案件情况作出其他处理决定，如行政处罚等。
   • 和解失败或未和解：如果双方未能和解或者和解未被司法机关认可，案件将继续按照刑事诉讼程序进行，犯罪嫌疑人、被告人可能面临刑事指控和审判。

4. 法律建议：

   • 对于受害者：如果遭受了殴打，应首先确保自身安全，并及时报警。在司法机关介入后，可以表达自己的和解意愿，但需在司法机关的主持下进行，并确保自己的权益得到充分保障。
   • 对于施暴者：如果涉嫌共同殴打他人，应积极配合司法机关的调查，并表达真诚的悔罪态度。如果希望和解，应在司法机关的主持下与受害者进行协商，并尽力赔偿受害者的损失。但需注意，和解并不意味着可以逃避法律责任，仍需接受司法机关的进一步处理。

进一步思考：在处理此类案件时，除了考虑法律因素外，还应考虑社会因素、道德因素等。私了虽然可能在一定程度上解决纠纷，但也可能留下隐患，如受害者后续反悔、施暴者未真正悔罪等。因此，在决定是否私了时，应谨慎考虑并咨询专业律师的意见。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。