在父亲去世的情况下，母亲和儿子继承遗产的方式主要取决于是否存在遗嘱以及遗产的具体情况，具体如下：
存在合法有效遗嘱的情况
- 如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，明确指定了遗产的分配方式，那么应当按照遗嘱的内容来执行。例如，遗嘱中可能指定母亲继承全部遗产，或者母亲和儿子按一定比例继承，这种情况下，遗产的分配就遵循遗嘱的指示。
- 需要注意的是，遗嘱必须符合法律规定的形式要件和实质要件，如遗嘱人必须具有完全民事行为能力、遗嘱内容必须合法且不得违背公序良俗等。如果遗嘱存在瑕疵或无效情形，则不能按照遗嘱分配遗产。
不存在遗嘱或遗嘱无效的情况
- 在没有遗嘱或遗嘱无效的情况下，遗产将按照法定继承的方式分配。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女和父母。因此，在父亲去世后，母亲和儿子作为第一顺序继承人，有权共同继承父亲的遗产。
- 具体分配比例上，如果父亲没有其他第一顺序继承人（如父亲的父母已经去世），则母亲和儿子通常平分遗产。但如果有多个子女或其他第一顺序继承人存在，则需要根据具体情况进行分配，可能涉及均分或按实际情况适当调整。
- 此外，如果母亲或儿子存在丧失继承权的情形（如故意杀害被继承人、遗弃被继承人等），则其将失去继承资格，遗产将由其他继承人继承。
特殊情况下的继承
- 如果父亲去世时留有债务未清偿，根据法律规定，继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。因此，在继承遗产前，需要先清偿父亲的债务，剩余部分再按照上述方式进行分配。
- 如果遗产中包含需要特殊处理的财产（如房产、车辆等），可能需要办理相关的过户手续或进行评估、拍卖等程序，以确保遗产的合法、有效分配。
建议：
- 在处理遗产继承问题时，建议母亲和儿子首先协商确定遗产的分配方式，并尽量达成书面协议以避免后续纠纷。
- 如果协商不成或存在争议，可以寻求法律援助或咨询专业律师，通过法律途径解决继承问题。
- 在继承过程中，注意保留好相关证据和文件（如遗嘱、死亡证明、亲属关系证明等），以便在需要时提供证明。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。