核心结论：
- 未签劳动合同的情况下，员工辞职后第二天不来上班，从法律层面讲，是可以的，但建议按照法定程序办理离职手续，以避免潜在的法律风险。
- 若用人单位存在违法行为（如拖欠工资、未缴纳社保等），员工有权立即解除劳动合同，并可要求用人单位支付经济补偿。
法律分析：
首先，我们需要明确的是，即使未签订书面劳动合同，员工与用人单位之间仍然存在事实劳动关系。根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。若未订立，则用人单位需承担相应的法律责任，如支付双倍工资等。但这并不影响劳动关系的存在和员工的离职权利。
正常离职情况：
- 在未签订劳动合同的情况下，员工若想离职，仍应按照《劳动合同法》的规定，提前通知用人单位。虽然法律未明确规定未签合同情况下的通知期限，但为了维护良好的劳动关系和避免不必要的纠纷，建议员工提前与用人单位协商，并尽量提前通知。
- 若员工未提前通知而直接离职，虽然法律上可能不会直接追究其责任，但用人单位可能会因此遭受损失，并有可能要求员工承担相应的赔偿责任。不过，这种赔偿责任通常需要用人单位提供充分的证据来证明其损失是由员工突然离职造成的。
用人单位存在违法行为的情况：
- 若用人单位存在拖欠工资、未缴纳社保等违法行为，员工有权根据《劳动合同法》的规定，立即解除劳动合同，并无需提前通知。
- 在这种情况下，员工不仅可以立即离职，还有权要求用人单位支付经济补偿。经济补偿的计算方式通常根据员工在用人单位的工作年限和月工资来确定。
律师建议：
尽量提前通知：
- 即使未签订劳动合同，为了维护良好的劳动关系和避免不必要的纠纷，建议员工在离职前尽量提前与用人单位协商，并提前通知用人单位。
保留证据：
- 若用人单位存在违法行为，员工在离职时应保留好相关证据，如工资条、社保缴纳记录等，以便在后续的法律纠纷中维护自己的权益。
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可能法律后果：
- 若员工未提前通知而直接离职，且用人单位能够证明其因此遭受了损失，员工可能需要承担相应的赔偿责任。
- 若用人单位存在违法行为，员工有权立即解除劳动合同并要求经济补偿。若用人单位拒绝支付，员工可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。