结论：原配老公承认和小三有不正当关系，不一定需要书面证明，但书面证明在法律程序中往往具有更高的证明力和稳定性。以下从不同角度为你详细分析：
法律证据的角度
- 证据形式多样性：在法律上，证据的形式是多样的，包括书证、物证、视听资料、电子数据、证人证言、当事人的陈述、鉴定意见、勘验笔录等。老公承认有不正当关系的陈述，属于当事人陈述这一证据类型。如果是在诉讼过程中，他当庭承认，那么这一陈述就可以作为证据使用，不一定非要形成书面材料。
- 例如，在离婚诉讼中，如果老公在法庭上明确承认了自己与第三者存在不正当关系，法官会将其陈述记录在案，并作为认定事实的依据之一。
- 书面证明的优势：虽然口头承认可以作为证据，但书面证明具有更高的证明力和稳定性。书面材料可以避免因时间推移、记忆模糊或当事人反悔等因素导致的证据失真。而且，书面证明更容易保存和呈现，在法庭上出示时也更加直观和有力。
- 比如，老公写了一份悔过书，详细承认了自己与小三的不正当关系，并签字确认。这份悔过书就可以作为有力的书面证据，在离婚诉讼中支持原配的主张。
实际操作的考虑
- 获取书面证明的难度：有时候，要让老公出具书面证明并不是一件容易的事情。他可能会因为各种原因拒绝书写，或者即使书写了也可能存在不真实、不完整的情况。在这种情况下，如果强行要求书面证明，可能会激化矛盾，导致双方关系进一步恶化。
- 例如，老公虽然承认了不正当关系，但出于面子或其他考虑，不愿意写下悔过书或保证书。此时，如果原配一味坚持，可能会让老公产生逆反心理，不利于问题的解决。
- 其他证据的收集：如果无法获取书面证明，原配可以考虑收集其他类型的证据来支持自己的主张。比如，可以收集老公与小三的聊天记录、通话记录、照片、视频等，这些证据同样可以证明他们之间存在不正当关系。
- 举个例子，原配发现老公与小三的微信聊天记录中，有很多暧昧的话语和亲密的照片。这些聊天记录就可以作为电子数据证据，在法律上具有一定的证明力。
法律后果的考量
- 对离婚诉讼的影响：在离婚诉讼中，如果原配能够证明老公存在与他人同居等重大过错行为，那么在财产分割、子女抚养等方面可能会获得更有利的判决。因此，收集充分的证据来证明老公的不正当关系是非常重要的。
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零九十一条规定，有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：（一）重婚；（二）与他人同居；（三）实施家庭暴力；（四）虐待、遗弃家庭成员；（五）有其他重大过错。老公与小三的不正当关系如果构成与他人同居或其他重大过错，原配可以要求损害赔偿。
- 证据的合法性和真实性：无论收集何种证据，都必须确保其合法性和真实性。如果证据是通过非法手段获取的，比如窃听、偷拍等，那么这些证据可能会被法院排除在外，无法作为认定事实的依据。
- 例如，原配为了收集老公与小三的证据，在老公的办公室或家里安装了窃听器。这种行为就侵犯了他人的隐私权，所获取的证据可能不被法院采纳。
建议：如果老公已经承认了与小三的不正当关系，原配可以尝试与老公沟通，看是否能够让他出具书面证明。如果老公不愿意，也不要强行要求，可以通过收集其他类型的证据来支持自己的主张。同时，在收集证据的过程中，一定要注意证据的合法性和真实性，避免因为证据问题而影响自己的权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。