结论：在学校上班的合同工签订无固定期限合同，是否需要教育局同意，主要取决于学校性质以及合同工与学校之间的具体劳动关系情况。以下分情况详细说明：

1. 公立学校：

   • 情况分析：公立学校通常属于事业单位，其员工的聘用和管理可能受到《事业单位人事管理条例》等相关规定的约束。对于公立学校的合同工，如果其岗位属于事业单位编制内，那么签订无固定期限合同可能需要遵循事业单位人事管理的相关规定，包括可能的审批程序。然而，如果合同工并不属于事业单位编制内，而是与学校直接签订劳动合同，那么其签订无固定期限合同的条件和程序可能更多地受《劳动合同法》的调整。
   • 教育局的角色：在公立学校中，教育局作为学校的主管部门，可能对学校的人事管理有一定的监督和指导作用。但是，具体到合同工签订无固定期限合同是否需要教育局同意，这并非一个绝对的法律规定，而是可能因地区、学校政策或具体合同条款而有所不同。
   • 建议：对于公立学校的合同工，如果希望签订无固定期限合同，最好先了解学校的相关政策和规定，以及当地教育局的具体要求。如果学校或教育局有明确规定需要教育局同意，那么应当按照规定程序进行申请和审批。

2. 私立学校：

   • 情况分析：私立学校通常不属于事业单位，其员工的聘用和管理更多地受《劳动合同法》等民事法律的调整。对于私立学校的合同工，其签订无固定期限合同的条件和程序通常与一般的劳动合同相同，即满足《劳动合同法》中规定的条件（如连续工作满十年、连续订立二次固定期限劳动合同等）即可提出签订无固定期限合同。
   • 教育局的角色：在私立学校中，教育局通常不直接参与学校的人事管理，因此合同工签订无固定期限合同一般不需要教育局的同意。但是，私立学校仍需遵守相关的劳动法律法规，确保员工的合法权益得到保障。
   • 建议：对于私立学校的合同工，如果希望签订无固定期限合同，应当仔细阅读劳动合同中的相关条款，了解自己的权利和义务。如果满足签订无固定期限合同的条件，可以向学校提出申请，并按照学校规定的程序进行办理。

法律背景：

• 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：（一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；（二）用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。

建议与行动：

• 如果您是学校的合同工，希望签订无固定期限合同，建议您首先了解自己所在学校的性质（公立或私立）以及相关的政策和规定。
• 仔细阅读劳动合同中的相关条款，了解自己的权利和义务。
• 如果满足签订无固定期限合同的条件，可以向学校提出申请，并按照学校规定的程序进行办理。如果学校或教育局有特殊要求或程序，应当积极配合并按照规定进行申请和审批。

如果您在签订无固定期限合同的过程中遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。