结论：法定继承开始后，母亲和其中一位继承人将部分房屋出租的行为是否合法，需根据具体情况判断，主要取决于该房屋是否已完成继承分割以及出租行为是否得到其他继承人的同意。
分析说明：
房屋已完成继承分割的情况：
- 如果房屋在法定继承开始后，已经通过协商、调解或诉讼等方式完成了继承分割，明确了各继承人的份额，并且母亲和其中一位继承人出租的部分属于他们各自继承的份额内，那么他们的出租行为是合法的，因为他们有权对自己继承的财产进行处分。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人按照法定继承或遗嘱继承取得遗产后，即成为遗产的合法所有人，有权对遗产进行占有、使用、收益和处分。
房屋未完成继承分割的情况：
- 如果房屋在法定继承开始后，尚未完成继承分割，即各继承人对房屋的份额尚未明确，那么母亲和其中一位继承人擅自将部分房屋出租，可能构成对其他继承人权益的侵害，因为此时房屋属于全体继承人共有，任何一方未经其他共有人同意，不得擅自处分共有财产。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》关于共有财产的规定，共有人对共有财产享有共同的权利，承担共同的义务。在共有关系存续期间，部分共有人擅自处分共有财产的，一般认定无效。但第三人善意取得财产的，应维护第三人的合法权益，对其他共有人的损失，由擅自处分共有财产的人赔偿。
- 特殊情况：如果母亲和其中一位继承人能够证明其他继承人对出租行为是知情且同意的，或者出租行为是为了维护共有财产的利益而进行的必要管理行为，那么该出租行为可能被视为合法。
建议与后果：
- 建议：在房屋未完成继承分割的情况下，母亲和其中一位继承人应与其他继承人协商一致后再进行出租行为，以避免可能的法律纠纷。如果协商不成，可以通过法律途径解决继承分割问题，明确各继承人的份额后再进行处分。
- 法律后果：如果擅自出租行为被认定为违法，出租人可能需要承担停止侵害、返还财产、赔偿损失等民事责任。如果出租行为涉及欺诈、恶意串通等情形，还可能承担更严重的法律责任。
进一步思考：
- 在处理此类问题时，应充分考虑各继承人的权益平衡，避免因为一方的擅自行为而损害其他继承人的利益。
- 如果房屋出租涉及复杂的法律关系或纠纷，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
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