结论前置：

在一般情况下，如果母亲已经去世，且其名下的房产未留有遗嘱进行特别分配，那么父亲单独将房子卖给继母是不合法的。因为这涉及到其他继承人的合法权益，需要与其他继承人协商一致才能处置。

详细分析：

1. 共同财产与继承权：

   • 在婚姻存续期间，夫妻对共同财产享有平等的处分权。如果母亲名下的房子是夫妻共同财产，那么父亲在母亲去世后，不能单独处置这套房子，因为房子中包含了母亲的遗产份额。
   • 母亲去世后，如果未留有遗嘱，那么房子作为母亲的遗产，将按照法定继承进行分配。父亲作为继承人之一，有权继承房子的部分份额，但并不能单独决定房子的全部处置。

2. 父亲卖房的合法性：

   • 如果父亲未经其他继承人同意，擅自将房子卖给继母，那么这种处置行为可能会侵犯其他继承人的合法权益。
   • 其他继承人有权通过法律途径主张出售行为无效，以维护自己的合法权益。

3. 特殊情况：

   • 如果母亲在去世前留有遗嘱，且遗嘱中明确将房子全部或部分遗赠给父亲，那么父亲在遗嘱的范围内有权处置房子。
   • 如果其他继承人同意父亲将房子卖给继母，并且签署了相关的同意文件，那么父亲的卖房行为就是合法的。

法律建议：

• 在处理涉及遗产继承的问题时，建议咨询专业律师，以确保自己的合法权益得到保障。
• 如果父亲想要处置母亲名下的房产，应首先与其他继承人协商一致，并确保处置行为符合法律规定。
• 如果遇到遗产纠纷或其他法律问题，可以及时向我咨询，我会提供专业的法律帮助和建议。