结论：劳动者住院治病后返岗继续上班，未履行请假手续被解除劳动关系是否合法，需根据具体情况判断。若劳动者仍处于规定的医疗期内且无过错，用人单位通常不得解除劳动合同；但若劳动者存在严重违反规章制度等行为，或医疗期满后不能从事相关工作，用人单位在遵守法定程序的前提下可以解除劳动合同。

分析如下：

1. 医疗期内的保护：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这是为了保障患病劳动者在治疗期间的基本权益，避免其因失去工作而陷入困境。
   • 医疗期的时长根据劳动者的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，具体规定已在上文中详细阐述。若劳动者仍处于医疗期内，且未履行请假手续的行为不构成严重违反规章制度，用人单位解除劳动关系则可能构成违法解除。

2. 严重违反规章制度的情况：

   • 即便在医疗期内，如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度的行为，如伪造病假条、从事与治疗康复无关且严重影响单位利益的活动等，用人单位可依据《劳动合同法》第三十九条第二项解除劳动合同。但此时，用人单位需能够举证证明劳动者的违规行为，且该行为需达到“严重”程度。

3. 医疗期满后的处理：

   • 若劳动者医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但此时必须向劳动者支付经济补偿，具体标准已在上文中详细阐述。

4. 用人单位解除劳动合同的程序要求：

   • 即使存在上述可以解除劳动合同的情形，用人单位也需遵循法定程序，包括提前通知工会、向劳动者说明解除劳动合同的理由、将解除劳动合同的决定送达劳动者等。未按照法定程序解除劳动合同的，同样可能构成违法解除。

建议：

• 对于劳动者而言，应了解自己的医疗期时长，并在医疗期内遵守用人单位的规章制度，如需请假应履行相应手续。若因特殊情况未能及时履行请假手续，应及时与用人单位沟通说明情况，避免因此产生不必要的纠纷。
• 对于用人单位而言，应严格遵守相关法律法规，确保解除劳动合同的合法性。在解除劳动合同前，应充分了解劳动者的实际情况，包括是否仍处于医疗期内、是否存在过错等，并遵循法定程序进行解除。同时，用人单位也应建立健全的规章制度，明确请假流程等事项，以减少因劳动者未履行请假手续而引发的纠纷。

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