结论：签订无固定期限劳动合同的员工并非不违法就不会被开除，是否会被开除取决于解除劳动关系的情形是否符合法律规定。若符合法定解除情形，则开除合法；若不符合或解除程序违法，则属于违法解除，用人单位需承担相应法律责任。
详细分析：
合法解除的情形：
- 过失性辞退：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若员工在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正、以欺诈胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同致使合同无效，或被依法追究刑事责任，用人单位可以合法解除劳动合同。
- 无过失性辞退：依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，若员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作、不能胜任工作经培训或调整岗位仍不能胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行且协商未达成协议，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
- 经济性裁员：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，若企业因破产重整、生产经营发生严重困难、转产重大技术革新或经营方式调整等原因需要裁减人员，且裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减包括签订无固定期限劳动合同的员工在内的人员。但在此情形下，用人单位需优先留用签订无固定期限劳动合同的员工，并支付经济补偿。
违法解除的情形：
- 若用人单位解除与签订无固定期限劳动合同员工的劳动关系，不符合上述法定情形，或解除程序不符合法律规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），则属于违法解除。例如，用人单位无故辞退员工，或在员工处于医疗期、孕期、产期、哺乳期等法定不得解除劳动合同的情形下将其辞退。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违法解除或终止劳动合同的，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
法律建议：
- 对于用人单位而言，应严格遵守法律规定，确保解除劳动关系的合法性。在解除劳动合同前，应仔细审查解除情形是否符合法律规定，并按照法定程序进行操作，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。
- 对于劳动者而言，若认为用人单位解除劳动合同的行为违法，可以依法向劳动争议调解仲裁机构申请调解仲裁，或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
举例说明：
- 假设某员工签订了无固定期限劳动合同，后因严重违反公司规章制度被开除。若公司能提供充分证据证明该员工确实存在严重违反规章制度的行为，且该行为符合公司规章制度中规定的解除劳动合同的情形，则该开除行为合法。
- 反之，若某员工处于医疗期内，公司无故将其辞退。则该开除行为违法，公司需按经济补偿标准的二倍向该员工支付赔偿金。
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