结论：公司在与员工签订劳务合同（这里应理解为劳动合同，因为劳务合同与劳动合同在法律上有显著区别，通常我们讨论的是劳动合同下的开除问题）后，不能随意开除员工，必须依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定进行。
详细分析：
- 合法解除且无需支付经济补偿的情形：
- 劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，例如技能不达标、无法胜任工作等；
- 劳动者严重违反用人单位的规章制度，且这些制度已经过合法程序制定并向员工公示；
- 劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正；
- 劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致合同无效；
- 劳动者被依法追究刑事责任。
例子：如果员工在试用期内多次无法完成基本工作任务，且经过培训后仍无改进，公司可以依据法律规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 合法解除但需支付经济补偿的情形：
- 劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；
- 劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任；
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且经用人单位与劳动者协商未能就变更合同内容达成协议；
- 公司因经济性原因需要裁员，如企业破产重整、生产经营发生严重困难等。
例子：如果公司因市场变化需要裁员，且该员工属于被裁减范围，公司需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，向劳动行政部门报告，并支付经济补偿。
- 违法解除需支付赔偿金的情形：
- 如果公司违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，如没有任何合法理由随意辞退员工，劳动者有权要求继续履行合同。若劳动者不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
例子：如果公司无故辞退一名表现良好的员工，且没有合法理由，那么该员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。
法律建议：
- 对于公司而言，应严格遵守相关法律法规，尊重员工的权益。如需解除劳动合同，必须确保符合法定情形，并按照规定程序进行操作。同时，公司也应建立健全的内部管理制度，确保劳动合同的合法性和有效性，避免不必要的法律纠纷。
- 对于员工而言，在面临被解雇的情况时，也应及时了解自己的权益，必要时可寻求法律援助或申请劳动仲裁。如果认为公司的解雇行为违法，可以收集相关证据，向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
经济补偿金和赔偿金的计算标准（如需具体计算）：
- 经济补偿金：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 赔偿金：为经济补偿标准的二倍。
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