结论：您可以先尝试与对方协商解决；若协商不成，可依据定金性质和合同约定，通过诉讼或仲裁等法律途径来维护自身权益，要求对方退还定金或承担相应责任。以下是详细分析：

协商解决

• 尝试友好沟通：您可以先与出售宠物狗的一方进行友好协商，明确表达您希望退还定金的诉求。在沟通中，要保持冷静和理性，了解对方不愿意退还定金的具体原因。比如，对方可能认为您违约在先，或者已经为准备出售宠物狗产生了相关费用等。
• 提出合理方案：如果对方提出了一些合理的费用扣除要求，您可以根据实际情况进行考虑。例如，如果对方确实已经为宠物狗进行了体检、疫苗接种等，产生了实际费用，您可以与对方协商扣除这部分合理费用后，退还剩余定金。

法律途径解决

• 判断定金性质
  • 有效定金：根据《中华人民共和国民法典》规定，定金的数额由当事人约定，但是不得超过主合同标的额的百分之二十，超过部分不产生定金的效力。如果您支付的10000多元定金未超过合同标的额的20%，那么这部分定金是有效的。若您作为给付定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，无权请求返还定金；若收受定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，应当双倍返还定金。
  • 无效定金：如果10000多元定金超过了合同标的额的20%，那么超过部分不适用定金罚则。对于超过部分，您可以要求对方返还；对于未超过部分的定金，则根据双方的违约情况按照上述定金罚则处理。
• 收集证据
  • 合同或协议：收集您与对方签订的购买宠物狗的合同或协议，这是证明双方权利义务关系的重要证据。合同中应明确约定了宠物狗的相关信息、价格、定金条款等内容。
  • 付款凭证：保留您支付定金的付款凭证，如转账记录、收据等，以证明您确实支付了定金以及支付的金额。
  • 沟通记录：保存您与对方就定金退还问题进行沟通的聊天记录、短信、邮件等，这些记录可以反映双方协商的过程和对方的态度。
• 选择解决方式
  • 诉讼：如果协商无果，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要向法院提交上述收集的证据，以支持自己的诉讼请求。法院会根据双方提供的证据和法律规定，判断定金的性质和双方的违约情况，作出相应的判决。
  • 仲裁：如果双方在合同中约定了仲裁条款，或者事后达成了仲裁协议，您也可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁具有一裁终局的特点，相对诉讼来说，程序更加简便、快捷。

在处理此类问题时，如果您觉得自行处理比较困难，可以随时向我咨询，我会根据具体情况为您提供更详细的法律建议和指导。