结论：公司没有休息日，员工确实可以向劳动局（现劳动保障监察部门）投诉，但需根据具体情况判断是否合法及如何维权。以下从法律角度详细分析：

一、法律对休息日的规定

根据《中华人民共和国劳动法》第三十八条，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。这是法律对劳动者休息权的基本保障。若公司未安排休息日，可能涉嫌违法，但需结合以下情形判断：

1. 综合计算工时制：若公司经劳动行政部门批准实行综合计算工时制（如某些季节性行业），可能通过集中工作、集中休息的方式安排工作时间，此时不强制要求每周休息一日，但需保证劳动者平均日工作时间和平均周工作时间与法定标准工作时间基本相同，且每月加班不得超过36小时。

2. 不定时工作制：对于高管、外勤等岗位，若公司申请不定时工作制并获批，劳动者工作时间不固定，可能无固定休息日，但需确保劳动者健康并支付加班费（若存在超时工作）。

3. 未获批特殊工时制：若公司未申请或未获批特殊工时制，却强制劳动者连续工作无休息日，则违反《劳动法》第三十八条，劳动者有权投诉。

二、维权途径及证据收集

若公司行为违法，劳动者可通过以下方式维权：

1. 向劳动保障监察部门投诉：

   • 流程：携带身份证、劳动合同、考勤记录（如打卡记录、排班表）、工资条等证据，到公司所在地劳动保障监察大队提交书面投诉材料。
   • 结果：监察部门将调查核实，若违法属实，会责令公司改正（如补休、支付加班费），并可能处以罚款。

2. 申请劳动仲裁：

   • 条件：若投诉未解决或公司拒不改正，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张加班费、经济补偿等。
   • 证据：除上述材料外，还需提供公司未安排休息日的证明（如同事证言、工作记录等）。

3. 诉讼：

   • 对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼，但需注意仲裁前置程序（即必须先申请仲裁）。

三、法律后果及风险提示

1. 公司责任：

   • 若违法，公司可能面临行政处罚（如罚款）、支付加班费及经济补偿（如劳动者被迫离职）。
   • 长期无休息日可能被认定为“强迫劳动”，情节严重者，公司直接责任人员可能承担刑事责任（《刑法》第二百四十四条）。

2. 劳动者风险：

   • 投诉或仲裁可能引发与公司矛盾，需评估自身职业风险（如是否继续在职）。
   • 证据不足可能导致维权失败，需提前收集并固定证据。

四、建议

1. 先与公司协商：尝试通过工会或直接与HR沟通，要求合理安排休息日或支付加班费。
2. 及时投诉/仲裁：若协商无果，尽快启动法律程序，避免超过1年仲裁时效。
3. 咨询专业律师：若案情复杂（如涉及特殊工时制、高额加班费计算等），建议委托律师处理。

总结：公司无休息日是否违法需结合工时制度判断，但劳动者有权通过投诉、仲裁等途径维权。若遇此类问题，可直接向我咨询具体操作方案。