十年员工能否被合法开除，取决于具体情形和用人单位是否遵循法定程序与条件。以下是对此问题的详细分析：
一、可以合法开除的情形
员工存在过错：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职营私舞弊等法定过错情形，用人单位可以随时解除劳动合同，且无需支付经济补偿。这包括但不限于：在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反劳动纪律或用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。
- 举例：若员工因盗窃公司财物被依法追究刑事责任，用人单位有权立即开除该员工，且无需支付任何经济补偿。
无过失性辞退（需提前通知并支付经济补偿）：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，若员工因患病或非因工负伤医疗期满不能工作、不能胜任工作经培训或调岗仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行且协商不成等情形，用人单位可以提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿。
- 举例：若员工因长期患病无法从事原工作，且经过培训或调岗后仍无法胜任，用人单位在提前三十日书面通知员工后，可以解除劳动合同，并按照员工在本单位的工作年限支付经济补偿。
经济性裁员（需符合法定程序）：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，在企业破产重整、生产经营发生严重困难等特定经济情况下，用人单位可以裁减人员，但需提前三十日向工会或全体员工说明情况并听取意见，经向劳动行政部门报告后实施。裁员时应优先留用老员工。
- 举例：若企业因经营不善面临破产重整，需要裁减大量员工以降低成本，此时用人单位可以按照法定程序进行经济性裁员，但应优先留用包括十年工龄员工在内的老员工。
二、不可随意开除的情形
- 对于具有十年工龄的员工，若其不存在上述法定过错情形，用人单位不得随意解除劳动合同。特别是当员工符合签订无固定期限劳动合同的条件时（如连续工作满十年），除非存在法定解除事由，否则用人单位无权单方解除合同。
三、开除程序与补偿标准
程序要求：
- 无论哪种情形下的开除，用人单位都需确保程序合法。例如，在无过失性辞退和经济性裁员的情况下，用人单位需提前三十日以书面形式通知员工本人（或额外支付一个月工资），并支付经济补偿。
经济补偿计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，且月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 计算公式：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)（月工资有上限规定的按上限计算）
四、法律救济途径
- 若用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的可向人民法院提起诉讼，要求继续履行合同或主张双倍经济补偿标准的赔偿金。
总结与建议：
十年员工能否被合法开除，关键在于是否满足法定解除条件以及是否遵循了法定程序。作为用人单位，在辞退员工时应谨慎行事，确保所有操作都符合法律法规的要求；作为员工，在面临被辞退时也应了解自己的权益和可能的救济途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。