结论前置：私下签订的赔偿协议若未履行，起诉时通常是按照赔偿协议的内容来起诉的，但具体还需根据协议的效力及实际情况来判断。

详细分析：

1. 赔偿协议的效力：

   • 私下签订的赔偿协议，如果双方意思表示真实，内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么该协议是有效的。有效的协议对双方都具有法律约束力，一方未履行的，另一方有权依据协议提起诉讼。

2. 起诉依据：

   • 在起诉时，原告通常会以赔偿协议作为主要的证据和起诉依据，要求被告履行协议中的赔偿义务。法院在审理案件时，也会首先审查赔偿协议的效力，以及被告是否确实存在未履行协议的行为。

3. 特殊情况考虑：

   • 如果赔偿协议存在无效或可撤销的情形（如欺诈、胁迫、显失公平等），那么原告可能不能直接依据协议起诉，而需要先通过法律程序确认协议的效力或撤销协议，再根据实际情况提起诉讼。
   • 另外，如果赔偿协议中的条款存在模糊不清或争议，法院可能需要根据相关法律规定和案件事实进行解释和判断，以确定双方的权利和义务。

4. 实际操作建议：

   • 在起诉前，建议原告先仔细审查赔偿协议的内容，确保协议的有效性，并收集好相关证据（如协议文本、履行情况证明等）。
   • 如果对协议的效力或条款存在疑问，可以咨询专业律师进行法律评估，以避免在诉讼中因协议问题而陷入不利境地。

法律后果：

• 如果法院认定赔偿协议有效且被告未履行，那么被告可能需要承担继续履行、赔偿损失等法律责任。
• 如果法院认定赔偿协议无效或可撤销，那么原告可能需要根据实际情况重新提起诉讼，并可能面临不同的法律后果。

总结与建议： 私下签订的赔偿协议若未履行，起诉时通常是按照赔偿协议的内容来起诉的。但为了确保诉讼的顺利进行和自身权益的保障，建议在起诉前先对赔偿协议的效力进行法律评估，并收集好相关证据。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。