公司员工因工作被其他单位伤害时，侵权赔偿的提起主体通常是受伤员工本人，但在特定情况下也可能涉及其他主体。以下从不同角度进行详细分析：

1. 一般原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，员工在执行工作任务过程中受到伤害，若伤害由其他单位造成，原则上受伤员工本人有权作为侵权赔偿的提起主体，向造成伤害的单位主张赔偿。这体现了法律对受害者权益的保护，确保受害者能够获得应有的赔偿。

2. 特殊情况下的主体：

   • 用人单位先行垫付与追偿：虽然直接侵权方是其他单位，但在某些情况下，如员工急需医疗救治而侵权方暂时无法确定或无力赔偿时，用人单位可能会先行垫付相关费用。此后，用人单位在承担垫付责任后，有权向实际侵权方（即其他单位）进行追偿。不过，这并不改变受伤员工作为最终赔偿权利人的地位。
   • 工伤保险与侵权赔偿的竞合：如果员工同时符合工伤保险的赔偿条件，他/她还可以根据《工伤保险条例》的规定，向用人单位或工伤保险机构申请工伤保险赔偿。在这种情况下，员工可能同时享有工伤保险赔偿和侵权赔偿的请求权。但需要注意的是，具体赔偿项目和金额可能会因地区和具体政策而有所不同，且部分项目可能存在重复赔偿的限制。

3. 赔偿项目与计算：

   • 在确定赔偿责任时，需明确赔偿项目，通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要营养费等。若因伤致残，还可能涉及残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费等。具体赔偿金额应根据受害人的实际损失和相关法律规定进行计算。例如，医疗费应根据医疗机构出具的医药费、住院费等收款凭证，结合病历和诊断证明等相关证据确定。

4. 法律建议与注意事项：

   • 及时收集证据：受伤员工应尽快收集与伤害事件相关的证据，如现场照片、医疗记录、证人证言等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
   • 咨询专业律师：由于侵权赔偿涉及复杂的法律问题和计算过程，建议受伤员工在提起赔偿请求前咨询专业律师，以确保自己的权益得到充分保障。
   • 注意诉讼时效：根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，受伤员工应在法定期限内提起赔偿请求，以免丧失胜诉权。

总结与建议：公司员工因工作被其他单位伤害时，侵权赔偿的提起主体通常是受伤员工本人。但在特定情况下，如用人单位先行垫付或工伤保险与侵权赔偿竞合时，也可能涉及其他主体。在处理此类案件时，建议受伤员工及时收集证据、咨询专业律师，并注意诉讼时效等问题，以确保自己的权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。