刑事二审判决书下来后，监外执行申请的时效问题需分情况讨论：

1. 若二审判决为终审判决且生效
   根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，监外执行的申请通常需在判决生效后立即提出，或由监狱、看守所等执行机关在交付执行前根据罪犯病情、生活不能自理等法定情形主动启动程序。若罪犯或其家属认为符合监外执行条件（如严重疾病、怀孕或哺乳婴儿、生活不能自理等），应尽快向执行机关提交书面申请及相关证明材料（如医疗诊断证明、生活自理能力评估报告等），无固定申请期限限制，但需在交付执行前完成申请，否则可能丧失机会。

2. 若二审判决后存在特殊情形

   • 判决未立即生效：如被告人提出申诉或检察院抗诉，案件进入审判监督程序，此时监外执行申请可能被暂停，需待再审结果确定后再行处理。
     
   • 执行前发现新情况：若在交付执行前发现罪犯符合监外执行条件（如突发严重疾病），执行机关应依法启动程序，不受时效限制。
     
   • 执行中申请监外执行：若罪犯已被交付执行（如送交监狱），仍可依据《刑事诉讼法》第265条向监狱或上级机关提出监外执行申请，但需符合法定条件且经省级以上监狱管理机关批准。

关键提醒：

• 监外执行的申请需严格符合法定条件，仅凭“不想服刑”等主观理由无法获批。
  
• 申请材料需真实、完整，建议委托律师协助准备证据（如医疗鉴定、生活能力证明等）以提高成功率。
  
• 若对执行机关的决定不服，可依法申请复议或向检察院提出监督申请。

如有具体案件情况或证据材料需要分析，可直接向我咨询，我会结合细节进一步解答。