针对您提出的“法院判决书下来后能否申请监外执行以及申请书怎么写”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、法院判决书下来后能否申请监外执行
在法院判决书下达后，如果罪犯符合特定条件，是可以申请监外执行的。监外执行主要适用于以下几种情形：
- 有严重疾病需要保外就医：罪犯患有严重疾病，且该疾病需要在外就医治疗，无法在监狱内得到有效治疗的。
- 怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：对于处于怀孕期或正在哺乳自己婴儿的妇女，出于人道主义考虑，可以申请监外执行。
- 生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会：罪犯因身体原因生活不能自理，且在监外执行期间不会对社会造成危害的。
二、监外执行申请书的撰写
监外执行申请书的撰写需严谨、规范，内容应真实、完整，且必须明确阐述罪犯符合监外执行的法定条件，并附上充分的证据材料。以下是撰写申请书的基本框架和要点：
标题与申请人信息：
- 标题：居中书写“监外执行申请书”，字体可适当加大。
- 申请人信息：包括姓名、性别、年龄、民族、籍贯、职业、住址等，与身份证一致。如为近亲属申请，还需说明与罪犯的关系，并附上相关证明材料的复印件。提供联系电话以便联系。
被申请监外执行的罪犯信息：
- 明确写明罪犯的姓名、性别、年龄、民族、籍贯、职业、原判罪名和刑罚等。
申请事项：
- 明确表述申请的事项，即请求对罪犯予以监外执行。例如：“申请对罪犯[罪犯姓名]予以监外执行。”
事实与理由：
- 罪犯基本情况：简要介绍罪犯的姓名、罪名、判决情况等。
- 申请监外执行的法定情形：
- 如为严重疾病，需详细描述疾病的名称、诊断时间、治疗情况及病情严重程度，附上相关医院的诊断证明、病历等材料。
- 如为怀孕或哺乳，需说明怀孕时间、预产期或婴儿出生时间，提供怀孕检查单、婴儿出生证明等。
- 如为生活不能自理，需描述具体表现，提供医生意见、邻居证言等证明材料，并论证罪犯在监外执行期间不会对社会造成危害。
- 对社会危险性的说明：强调罪犯平时表现良好、有悔罪表现、积极配合改造等，进一步证明其在监外执行期间不会对社会造成危害。
相关证据材料：
- 根据申请的理由，附上相应的证据材料，如病情诊断书、医院检查报告、怀孕证明、婴儿出生证明、医生意见、邻居证言等。
申请保证：
- 申请人需作出保证，确保罪犯在监外执行期间遵守相关规定，配合监管。如违反规定，申请人愿意承担相应的法律责任。
结尾及签署：
- 致送机关：写明申请书送达的司法机关名称，一般是罪犯服刑地的中级人民法院或执行机关。
- 申请人签名及日期：申请人需在申请书末尾签名或盖章，并注明提交日期。如有必要，还可附上联系方式以便后续联系。
三、注意事项
- 监外执行申请书的书写应当严谨、规范，内容要真实、完整。
- 在提交前，建议咨询专业的法律人士进行审核和指导，以确保申请的有效性和成功率。
- 监外执行并非随意申请，需满足严格的条件和程序。即使获得批准，罪犯也需遵守法律法规和监管规定，接受监督和管理。
希望以上解答能够帮助您更好地理解监外执行的申请流程和要求，提高申请的成功率。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询。