员工因打游戏被开除是否有权要求赔偿，需根据具体情况判断，主要取决于公司规章制度的合法性、打游戏行为的性质及影响，以及用人单位能否提供充分证据。以下是对此问题的详细分析：

1. 公司规章制度合法且明确的情况

   • 如果公司依法制定了规章制度，明确将上班时间打游戏等严重违反劳动纪律的行为列为严重违纪情形，并且该规章制度经过了民主程序制定（如职工代表大会讨论、与工会协商等），同时向劳动者进行了公示或告知（如组织员工培训学习、在单位显著位置张贴等），那么公司因员工打游戏而开除员工，通常无需支付赔偿金。

2. 公司规章制度不合法或不明确的情况

   • 若公司规章制度未依法制定，或者未向员工公示，那么以打游戏为由辞退员工可能被认定为违法解除劳动合同。在这种情况下，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿金的二倍。经济补偿金根据员工在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

3. 打游戏行为的具体情形与影响

   • 如果员工在工作时间打游戏，且该行为对工作造成了实质性影响（如影响工作效率、损害公司利益等），公司辞退员工可能被视为合法。但即便如此，公司也需确保规章制度合法且已向员工公示，否则仍可能面临支付赔偿金的风险。
   • 如果打游戏行为未对工作造成实质性影响，或者并非在工作时间进行，公司辞退员工则可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求赔偿。

4. 证据的充分性

   • 公司必须有充分的证据证明员工确实存在工作时间打游戏的行为，这些证据可以是监控录像、聊天记录、工作系统中的操作记录等。如果证据不足或打游戏情节未达到规章制度规定的严重程度，公司辞退员工也可能构成违法解除。

维权途径与法律责任：

• 如果员工认为公司开除自己并拒绝支付赔偿金的行为违法，首先可以尝试与公司协商解决。
• 协商不成时，可以向当地劳动监察部门投诉举报。
• 若投诉举报未能解决问题，员工可以申请劳动仲裁。对劳动仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

总结与建议：

• 公司应确保规章制度的合法性和有效性，明确将上班时间打游戏等行为列为严重违纪情形，并向员工进行公示或告知。
• 员工应了解自己的权益和维权途径，在发生争议时，积极寻求合法途径解决纠纷。
• 如果你或你身边的人遇到了类似问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。