针对您提出的“履职申请60天不答复的法律依据”问题，核心结论如下：

1. 行政许可类履职申请的答复期限及法律依据
   根据《中华人民共和国行政许可法》第四十二条，除可以当场作出行政许可决定的外，行政机关应当自受理行政许可申请之日起二十日内作出行政许可决定。二十日内不能作出决定的，经本行政机关负责人批准，可以延长十日，并应当将延长期限的理由告知申请人。
   若涉及统一办理、联合办理、集中办理的行政许可，办理期限不得超过四十五日；四十五日内不能办结的，经本级人民政府负责人批准，可以延长十五日，并应当将延长期限的理由告知申请人。
   若行政机关未在法定期限内答复，属于程序违法，申请人可依据《行政许可法》第三十八条、第七十二条主张权利（如要求履行法定职责、申请行政复议或提起行政诉讼）。

2. 政府信息公开类履职申请的答复期限及法律依据
   根据《中华人民共和国政府信息公开条例》第三十三条，行政机关收到政府信息公开申请后，能够当场答复的，应当当场答复；不能当场答复的，应当自收到申请之日起20个工作日内予以答复；需延长答复期限的，应当经政府信息公开工作机构负责人同意并告知申请人，延长的期限最长不得超过20个工作日。
   若行政机关超期未答复，申请人可依据该条例第五十一条向上一级行政机关或政府信息公开工作主管部门举报，或直接提起行政诉讼。

3. 其他类型履职申请的答复期限及救济途径
   若履职申请涉及其他具体行政行为（如行政确认、行政给付等），需结合《行政复议法》《行政诉讼法》及单行法规判断答复期限。例如：

   • 行政复议申请：根据《行政复议法》第三十一条，行政复议机关应当自受理申请之日起60日内作出行政复议决定（经负责人批准可延长不超过30日）；
     
   • 信访事项处理：根据《信访条例》第三十三条，信访事项应当自受理之日起60日内办结（情况复杂的可延长30日）。
     若行政机关超期未处理，申请人可通过行政复议、行政诉讼或向上级机关申诉等途径维权。

建议行动：

1. 明确履职申请的具体类型（如行政许可、政府信息公开、信访等），以便精准定位法律依据；
   
2. 保留申请材料、送达回执等证据，证明已提交申请及行政机关未答复的事实；
   
3. 根据申请类型，选择向上一级行政机关申诉、申请行政复议或直接提起行政诉讼。
   

如有进一步细节需补充（如申请内容、行政机关类型等），可随时向我咨询，我会结合具体场景为您分析。