关于履职申请书面回复的法定时限，这主要取决于具体的法律法规以及行政机关所处理的申请事项类型。不过，我可以根据一般情况和相关法律法规，为您提供一个较为全面的解答。
首先，我们需要明确的是，行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请后，有义务在法定期限内进行审查并作出回复。这一时限通常会在相关的法律法规中明确规定。
一、一般情况下的法定时限
在多数情况下，如果申请事项属于行政机关的法定职责范围，且申请资料齐全、符合法定形式，行政机关应当在收到申请之日起的一定期限内（如20个工作日、30个工作日等，具体时限因地区和部门而异）进行审查，并作出书面回复。这一时限旨在确保行政机关能够及时、有效地处理公民、法人或其他组织的申请，保障其合法权益。
二、特殊情况下的时限规定
行政许可申请：
- 根据《中华人民共和国行政许可法》的相关规定，行政机关对行政许可申请进行审查后，除可以当场作出行政许可决定的外，应当自受理行政许可申请之日起二十日内作出行政许可决定。二十日内不能作出决定的，经本行政机关负责人批准，可以延长十日，并应当将延长期限的理由告知申请人。但是，法律、法规另有规定的，依照其规定。
行政复议申请：
- 如果公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责，可以依法申请行政复议。根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议机关应当自受理申请之日起六十日内作出行政复议决定；但是法律规定的行政复议期限少于六十日的除外。情况复杂，不能在规定期限内作出行政复议决定的，经行政复议机关的负责人批准，可以适当延长，并告知申请人和被申请人；但是延长期限最多不超过三十日。
其他特定事项：
- 对于某些特定事项，如政府信息公开申请、投诉举报处理等，相关法律法规可能规定了特定的回复时限。例如，根据《中华人民共和国政府信息公开条例》的规定，行政机关收到政府信息公开申请后，能够当场答复的，应当当场予以答复；不能当场答复的，应当自收到申请之日起20个工作日内予以答复；需要延长答复期限的，应当经政府信息公开工作机构负责人同意并告知申请人，延长的期限最长不得超过20个工作日。
三、实际案例中的时限应用
以您提供的《依法履职答复意见书》为例，该意见书显示，长沙市芙蓉区住房和城乡建设局在收到申请人的协助退还押金相关问题反映后，于次日正式受理，并在经过核查、协调处理后，于受理后的两个多月内作出了书面回复。虽然这个案例中的具体时限可能因案件复杂性和协调工作的需要而有所延长，但行政机关仍然在合理的时间内完成了处理并给出了回复。
四、建议与注意事项
了解具体时限：
- 公民、法人或其他组织在提交履职申请前，建议先了解相关法律法规或部门规章中规定的回复时限，以便更好地维护自己的权益。
保留申请凭证：
- 在提交申请时，务必保留好申请凭证（如邮寄回执、在线提交确认等），以便在需要时证明自己已经提交了申请。
及时跟进处理进度：
- 如果行政机关在法定期限内未作出回复，申请人可以通过电话、邮件等方式及时跟进处理进度，并了解未回复的原因。
依法维权：
- 如果行政机关逾期未回复或回复不符合法律规定，申请人可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。
综上所述，履职申请书面回复的法定时限因具体事项和法律法规而异。公民、法人或其他组织在提交申请前应了解相关时限规定，并在需要时依法维权。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。