行政机关收到履职申请后，一般应在六十天内给予答复，情况复杂的可延长三十天。以下是对这一问题的详细分析：
一、一般答复时限
六十天答复原则：
- 根据相关法律法规，行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请后，通常需要在六十天内进行审查并作出答复。这是行政机关履行法定职责的基本要求，也是保障申请人合法权益的重要法律原则。
答复的及时性：
- 行政机关应尽快对履职申请进行审查，并在六十天内给予答复。这有助于确保申请人的合法权益得到及时保护，避免因行政机关拖延答复而给申请人造成不必要的损失。
二、特殊情况下的答复时限延长
情况复杂可延长：
- 如果履职申请涉及的情况复杂，或者需要进一步调查核实，行政机关可以依法延长答复期限。但延长期限不得超过三十天，即总答复时限不得超过九十天。
紧急情况下的特殊处理：
- 在某些紧急情况下，如涉及公共安全、重大利益等，行政机关应尽快作出答复并采取相应措施。这种情况下，行政机关可能会缩短答复时限，以确保申请人的合法权益得到及时保护。
三、答复的形式与要求
书面回复的优先性：
- 虽然法律可能未直接规定履职申请必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。因此，在可能的情况下，行政机关应优先选择书面回复方式，以确保答复的准确性和可追溯性。
非书面回复的例外情况：
- 在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关可以选择非书面方式进行回复。但这种回复方式应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。
四、法律后果与救济途径
未答复的法律后果：
- 如果行政机关未在规定期限内对履职申请进行答复或处理，申请人有权提起行政复议或行政诉讼。这是申请人维护自身合法权益的重要法律途径。
救济途径的选择：
- 申请人可以根据具体情况选择行政复议或行政诉讼作为救济途径。行政复议通常具有更快的处理速度和更低的成本，而行政诉讼则具有更强的法律效力和更广泛的救济范围。
五、实际建议
- 保留申请证据：在提交履职申请时，申请人应保留好相关证据，如申请书、邮寄凭证等，以便在需要时证明自己已经提出了申请。
- 关注答复时限：申请人应关注行政机关的答复时限，如果行政机关未在规定期限内答复，申请人可以及时采取法律措施维护自己的合法权益。
- 咨询专业律师：如果申请人对行政机关的答复不满意或认为行政机关未依法履行职责，可以咨询专业律师以获取更详细的法律建议和帮助。不过，作为蒋泽勇律师，我随时准备为你提供法律咨询，你可以直接向我提问。
综上所述，行政机关在收到履职申请后，一般应在六十天内给予答复，情况复杂的可延长三十天。申请人应关注答复时限，并在必要时采取法律措施维护自己的合法权益。