行政机关收到履职申请后，一般应在六十天内给予答复，情况复杂的可延长三十天。以下是对这一问题的详细分析：
一、一般答复时限
根据相关法律法规，行政机关对履职申请的答复时限通常为六十天。这一时限是从行政机关收到申请之日起开始计算的。在这六十天内，行政机关需要对申请进行审查，并根据审查结果作出相应的答复。
二、延长期限的情况
对于情况复杂或需要进一步调查核实的案件，行政机关可以依法延长答复期限。但需要注意的是，延长期限不得超过三十天。这意味着，即使案件复杂，行政机关也应在最长不超过九十天的时间内给予答复。
三、紧急情况下的特殊处理
在某些紧急情况下，如涉及公共安全、重大利益等，行政机关应尽快作出答复并采取相应措施。这是为了确保申请人的合法权益得到及时保护，避免因行政机关的拖延而造成不必要的损失。
四、答复的形式与要求
虽然法律可能未直接规定履职申请必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。它有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权，提高行政机关的透明度和公信力。因此，在可能的情况下，行政机关应优先选择书面回复的方式。当然，在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关也可以选择非书面方式进行回复，但应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。
五、法律后果与救济途径
如果行政机关未在规定期限内给予答复或处理，申请人有权提起行政复议或行政诉讼。这是法律赋予申请人的救济途径，旨在保障申请人的合法权益不受侵害。因此，行政机关应严格遵守相关法律法规和行政法原则，确保答复的及时性、准确性和合法性。
建议：
在实际操作中，行政机关应严格遵守相关法律法规和行政法原则，确保答复的及时性、准确性和合法性。如果您在履职申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。