您好，关于您提出的“申请行政机关履职申请答复期限”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请后，是负有法定答复义务的。这是根据《中华人民共和国行政复议法》和《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律法规所明确规定的。行政机关必须在法定期限内对申请进行审查，并以适当形式给予明确答复，这是保障申请人合法权益的重要法律原则。

接下来，关于答复的时限，一般来说，行政机关对履职申请的答复时限为六十天。这是行政机关处理此类申请的一般时间框架。然而，如果情况复杂或需要进一步调查核实，行政机关可以依法延长答复期限，但延长期限不得超过三十天。这样的规定既考虑了行政机关处理申请的实际情况，也确保了申请人的权益不会因无限期的等待而受到损害。

在特殊情况下，如涉及公共安全、重大利益等紧急情况，行政机关应尽快作出答复并采取相应措施。这是为了确保申请人的合法权益能够得到及时保护，避免因延误而造成不必要的损失。

关于答复的形式，虽然法律可能未直接规定必须书面回复，但书面回复因其正式性和法律效力，通常是行政机关履行职责的重要凭证。书面回复有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权，同时提高行政机关的透明度和公信力。当然，在某些特殊或紧急情况下，行政机关也可以选择非书面方式进行回复，如口头告知、电话通知等。但无论采用何种方式，都应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。

最后，我想强调的是，行政机关在处理履职申请时，应严格遵守相关法律法规和行政法原则，如依法行政原则、程序正当原则等。这些原则要求行政机关在作出影响相对人权益的行政行为时，必须遵循正当法律程序，确保答复的及时性、准确性和合法性。

综上所述，行政机关在收到履职申请后，必须在规定期限内以适当形式给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障申请人合法权益的重要举措。希望我的解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。