行政机关收到履职申请后，作出答复书的期限是有法律规定的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一般答复时限：
- 根据相关法律法规，行政机关对履职申请的答复时限一般为六十天。这一时限是行政机关在收到申请后，进行审查、调查核实并作出答复的法定时间限制。例如，在《中华人民共和国行政复议法》和《中华人民共和国行政诉讼法》等法律法规中，均体现了对行政机关答复时限的要求，以确保行政机关能够及时、有效地履行职责，保障申请人的合法权益。
延长期限的规定：
- 对于情况复杂或需要进一步调查核实的案件，行政机关可以依法延长答复期限。但延长期限并非无限制，而是有明确的法律规定，即延长期限不得超过三十天。这一规定旨在平衡行政机关的调查需要与申请人的权益保护，防止行政机关以情况复杂为由无限期拖延答复。
紧急情况下的特殊处理：
- 在某些紧急情况下，如涉及公共安全、重大利益等，行政机关应尽快作出答复并采取相应措施。这种情况下，行政机关可能无法在六十天的法定期限内完成答复，但必须确保申请人的合法权益得到及时保护。行政机关应优先处理紧急申请，并在尽可能短的时间内给予答复。
答复形式的要求：
- 虽然法律可能未直接规定履职申请必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。它有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权，提高行政机关的透明度和公信力。因此，在可能的情况下，行政机关应优先选择书面回复方式。当然，在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关也可以选择非书面方式进行回复，但应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。
法律建议：
- 如果您作为申请人向行政机关提出了履职申请，但行政机关未在规定期限内给予答复，您有权提起行政复议或行政诉讼，以维护自己的合法权益。
- 在提出履职申请时，建议您尽量明确、具体地描述申请事项和理由，以便行政机关能够更准确地理解您的需求，并在规定期限内给予答复。
- 如果您对行政机关的答复不满意或认为行政机关未依法履行职责，您可以及时咨询专业律师（即我本人），了解进一步的法律救济途径和策略。
综上所述，行政机关收到履职申请后作出答复书的期限是有法律规定的，且这一期限因案件情况的不同而有所差异。作为申请人，您应了解并维护自己的合法权益；作为行政机关，则应严格遵守相关法律法规和行政法原则，确保答复的及时性、准确性和合法性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。