关于您提出的“工伤认定书下来后，公司去申请劳动鉴定平级还是自己去申请劳动鉴定平级”的问题，我可以为您详细解答。
首先，需要明确的是，无论是公司还是工伤职工本人，都有权向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。这一规定确保了工伤职工在获得工伤认定后，能够及时进行劳动能力鉴定，从而确定相应的工伤待遇。
申请主体与责任
公司申请：
- 在工伤职工伤情相对稳定后，如果存在残疾或影响劳动能力的情况，公司有责任在合理时间内向劳动能力鉴定委员会提出鉴定申请。
- 公司申请可以体现其对员工的关怀和责任，同时也有助于及时了解员工的工伤情况，为后续的工伤待遇支付和员工康复安排提供依据。
工伤职工本人或其近亲属申请：
- 如果公司未在规定时间内提出申请，或者工伤职工本人希望自行申请，那么工伤职工或其近亲属也有权直接向劳动能力鉴定委员会提出申请。
- 工伤职工本人申请可以确保其权益得到及时保障，特别是在公司可能存在拖延或否认工伤的情况下。
申请材料与流程
- 无论是由公司还是工伤职工本人申请，都需要准备相关的申请材料，如工伤认定决定书、工伤医疗资料、身份证明等。
- 申请流程通常包括提交申请材料、等待审核、参加鉴定（如果需要）、领取鉴定结论等步骤。
- 在申请过程中，应确保提供的材料真实有效，符合相关规定，以避免因材料问题导致的申请延误或驳回。
实际应用中的建议
与公司沟通：
- 在工伤认定书下来后，建议工伤职工首先与公司进行沟通，了解公司是否愿意并能够及时提出劳动能力鉴定申请。
- 如果公司表示愿意申请，工伤职工可以配合提供相关材料，并关注申请进度。
自行申请准备：
- 如果公司未能在规定时间内提出申请，或者工伤职工希望自行申请，那么应提前了解申请流程和所需材料，做好充分准备。
- 在自行申请过程中，如果遇到疑问或困难，可以及时咨询相关部门或寻求法律援助。
关注鉴定结论：
- 无论是由公司还是工伤职工本人申请，都应关注鉴定结论的领取时间，并及时领取。
- 鉴定结论是确定工伤待遇的重要依据，因此应认真对待并妥善保管。
综上所述，工伤认定书下来后，公司或工伤职工本人都有权向劳动能力鉴定委员会提出鉴定申请。在实际操作中，建议工伤职工首先与公司沟通并了解申请情况，如果公司未能及时申请或工伤职工希望自行申请，则应做好充分准备并关注申请进度和鉴定结论。希望这些解答能够对您有所帮助。