结论：第三方是否构成商标侵权，需根据具体情况判断，若第三方在发布招聘信息时，未经授权使用了侵犯商标权的公司的商标，且该使用行为属于商标性使用，则第三方可能构成商标侵权。以下从不同角度进行分析：
一、商标侵权的构成要件
商标侵权通常要求满足以下几个构成要件：
- 存在有效的商标权：即被侵权的商标必须是已经注册且在有效期内的商标，享有法律保护。
- 未经授权使用：侵权人未经商标权人的许可，擅自使用了与注册商标相同或近似的商标。
- 商标性使用：侵权人的使用行为必须构成商标性使用，即用于识别商品或服务的来源。
- 存在混淆可能性：侵权人的使用行为可能导致消费者对商品或服务的来源产生混淆或误认。
二、第三方发布招聘信息的具体情况分析
若第三方仅作为信息发布平台：
- 如果第三方仅作为信息发布平台，对招聘信息的内容不进行实质性审核，且未从招聘信息中获得直接经济利益，那么第三方通常不构成商标侵权。因为此时第三方并未主动使用商标，也未对商标进行商标性使用。
- 但如果第三方明知或应知招聘信息中存在商标侵权行为，而未采取合理措施予以制止，那么第三方可能因帮助侵权而承担一定的法律责任。
若第三方主动使用商标：
- 如果第三方在发布招聘信息时，主动使用了侵犯商标权的公司的商标，且该使用行为构成商标性使用（如将商标作为招聘单位的标识或宣传点），那么第三方可能构成商标侵权。
- 此时，无论第三方是否从招聘信息中获得直接经济利益，只要其使用行为满足商标侵权的构成要件，就可能面临法律责任。
三、法律建议
对于侵犯商标权的公司：
- 应加强对自身商标权的保护，及时对侵权行为进行维权。
- 在委托第三方发布招聘信息时，应明确告知第三方不得使用其商标，并签订相关协议以明确双方的权利义务。
对于第三方：
- 在发布招聘信息时，应严格审核招聘信息的内容，避免使用未经授权的商标。
- 如果发现招聘信息中存在商标侵权行为，应及时采取合理措施予以制止，并通知商标权人。
对于求职者：
- 在求职过程中，应注意辨别招聘信息的真伪，避免被虚假招聘信息所误导。
- 如果发现招聘信息中存在商标侵权或其他违法行为，可以向相关部门进行举报。
后续思考依据：在判断第三方是否构成商标侵权时，关键在于分析第三方的使用行为是否满足商标侵权的构成要件。因此，在处理类似案件时，应详细调查第三方的使用行为、使用目的以及是否构成商标性使用等因素。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。