结论：不可以完全通过遗嘱一分钱都不分给私生子，因为私生子作为非婚生子女，与婚生子女享有同等的继承权。不过，具体分配比例和方式可以通过遗嘱进行一定程度的调整，但需遵循法定继承的基本原则。
法律背景与解释
非婚生子女的继承权：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。这意味着，在法定继承的情况下，私生子有权继承其生父母的遗产，且继承份额与婚生子女相同。
遗嘱继承与法定继承的关系：
- 遗嘱继承是优先于法定继承的。如果被继承人（即立遗嘱人）在遗嘱中明确指定了遗产的分配方式，那么遗嘱中的分配将优先执行。
- 但是，遗嘱的自由并非绝对。根据法律规定，遗嘱应当对缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额。此外，遗嘱内容不得违反法律强制性规定或公序良俗。
遗嘱中分配遗产的限制：
- 虽然立遗嘱人可以在遗嘱中调整遗产的分配比例和方式，但不能完全剥夺私生子的继承权。因为私生子作为法定继承人之一，其继承权是受到法律保护的。
- 如果立遗嘱人试图通过遗嘱完全剥夺私生子的继承权，这样的遗嘱条款可能会被认定为无效或部分无效。
实际操作建议
合理规划遗嘱内容：
- 立遗嘱人可以在遗嘱中明确指定遗产的分配方式，包括给私生子分配一定比例的遗产。这样既可以体现立遗嘱人的意愿，又能确保私生子的基本生活需求得到满足。
- 如果立遗嘱人确实不希望私生子继承过多遗产，可以通过遗嘱将大部分遗产分配给其他继承人，同时给私生子留出一定比例的遗产份额。
考虑私生子的实际情况：
- 在制定遗嘱时，立遗嘱人应充分考虑私生子的实际情况，如年龄、健康状况、经济状况等。如果私生子缺乏劳动能力又没有生活来源，立遗嘱人应在遗嘱中为其保留必要的遗产份额。
咨询专业律师：
- 制定遗嘱是一项复杂的法律行为，涉及众多法律条款和细节。因此，建议立遗嘱人在制定遗嘱前咨询专业律师，以确保遗嘱的合法性和有效性。
可能的法律后果
- 如果立遗嘱人试图通过遗嘱完全剥夺私生子的继承权，这样的遗嘱条款可能会被法院认定为无效或部分无效。在这种情况下，私生子仍有权按照法定继承的规定继承其生父母的遗产。
- 如果遗嘱内容合法且有效，但立遗嘱人未给缺乏劳动能力又没有生活来源的私生子保留必要的遗产份额，法院可能会根据具体情况调整遗产分配比例，以确保私生子的基本生活需求得到满足。
总结：虽然立遗嘱人不能完全通过遗嘱一分钱都不分给私生子，但可以通过合理规划遗嘱内容来调整遗产的分配比例和方式。在制定遗嘱时，建议立遗嘱人充分考虑私生子的实际情况和继承权，并咨询专业律师以确保遗嘱的合法性和有效性。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。