结论：公务人员因打伤他人构成刑事案件，是否会被开除公职需根据具体案情、法律规定及单位处理程序综合判断，但存在被开除的较高风险。以下从法律后果、单位处理程序、例外情形等角度展开分析：

一、法律后果：构成刑事犯罪是开除公职的直接依据

根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第十四条，公职人员因故意犯罪被判处管制、拘役、有期徒刑以上刑罚（含缓刑）的，应当予以开除。若打伤他人行为被认定为故意伤害罪，且法院判决刑罚符合上述情形（如拘役、有期徒刑），则单位必须开除公职。

例外情形：若犯罪情节轻微，检察院作出不起诉决定，或法院判决免予刑事处罚，则不必然导致开除。但根据《政务处分法》第十四条第三款，此时单位仍可依据情节轻重给予撤职或开除处分，是否开除需结合具体情节判断。

二、单位处理程序：需经调查、处分决定、申诉等环节

即使构成刑事犯罪，单位也不能直接开除，需遵循法定程序：

1. 调查阶段：单位需对公务人员的违法犯罪事实进行调查，收集证据（如刑事判决书、伤情鉴定报告等）。
2. 处分决定：根据调查结果，单位作出处分决定（如开除、撤职等），并书面通知本人。
3. 申诉权利：公务人员对处分决定不服的，可依法申请复核、申诉，单位需重新审查并作出答复。

关键点：单位必须以生效的刑事判决作为处分依据。若案件尚在侦查、审查起诉或审判阶段，单位通常不会提前开除，但可能暂停其职务。

三、情节轻重对处理结果的影响

即使构成故意伤害罪，以下情节可能影响是否开除：

1. 犯罪情节轻微：如仅造成轻微伤，或存在自首、立功、赔偿谅解等情节，法院可能判处缓刑或免予刑事处罚。此时单位可能酌情给予撤职而非开除。
2. 过失犯罪：若打伤行为被认定为过失犯罪（如过失致人重伤），根据《政务处分法》第十四条，单位可给予撤职或开除处分，但开除并非必然。
3. 职务关联性：若打伤行为与职务无关（如私人纠纷），单位可能从轻处理；若与职务相关（如执法过程中暴力伤人），则开除风险更高。

四、实务建议

1. 及时委托律师介入：若公务人员涉嫌犯罪，应尽快委托律师辩护，争取不起诉、缓刑或免予刑事处罚，降低开除风险。
2. 主动配合单位调查：在单位调查阶段，应如实说明情况，提供有利证据（如赔偿协议、谅解书等），争取从轻处理。
3. 关注程序合法性：若单位未履行法定程序即开除，可依法申请复核或申诉，维护合法权益。

总结：公务人员因打伤他人构成刑事案件，是否被开除需结合犯罪性质、刑罚结果、单位程序及情节轻重综合判断。若您或家人涉及此类问题，可直接向我咨询具体案情及应对策略。