结论：做餐饮店的员工切菜切伤自己手，可以根据具体情况要求工伤赔偿或一般人身损害赔偿。具体赔偿方式和金额需根据实际情况确定，以下为你详细分析。
一、工伤赔偿情况
认定工伤：
- 根据《工伤保险条例》的规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。因此，如果员工在切菜过程中因工作原因切伤手指，且符合工作时间、工作场所、工作原因这三个要素，那么该员工的情况应当被认定为工伤。
赔偿流程：
- 报告工伤：员工或其近亲属、用人单位在知道或应当知道工伤事故发生后，应及时向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 工伤认定：社会保险行政部门在受理工伤认定申请后，会进行调查核实，并在一定期限内作出工伤认定的决定。
- 劳动能力鉴定：如果员工因工伤导致残疾或影响劳动能力，需要进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级和护理依赖程度。
- 赔偿协商与支付：根据工伤认定和劳动能力鉴定的结果，员工可以与用人单位协商赔偿事宜。如果协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
赔偿项目：
- 工伤赔偿项目包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费、辅助器具费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。具体赔偿金额需根据员工的伤残等级、工资水平等因素确定。
二、一般人身损害赔偿情况
适用情形：
- 如果员工切伤手指的情况不符合工伤认定的条件，或者用人单位未依法为员工缴纳工伤保险费，那么员工可以依据《中华人民共和国民法典》中关于一般人身损害赔偿的规定，要求用人单位承担赔偿责任。
赔偿项目：
- 一般人身损害赔偿项目包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果员工因伤致残，还可以要求赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费等。
赔偿流程：
- 员工可以与用人单位协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向人民法院提起诉讼，要求用人单位承担赔偿责任。
三、特殊情况说明
- 第三方责任：如果员工切伤手指是由于第三方的过错导致的，比如刀具质量问题等，那么员工还可以向第三方主张侵权责任赔偿。
- 员工过错：如果员工在切菜过程中存在故意或重大过失行为导致自己受伤，用人单位可能可以根据具体情况减轻或免除部分赔偿责任。但这一原则并不适用于工伤赔偿，在工伤赔偿中，除非员工存在故意犯罪、醉酒或吸毒、自残或自杀等情形，否则用人单位应承担全部赔偿责任。
建议：
- 及时报告与申请：员工在受伤后应及时向用人单位报告，并尽快申请工伤认定，以便及时获得赔偿。
- 保留证据：员工应保留好与受伤相关的所有证据，如医疗记录、证人证言等，以便在需要时提供证明。
- 咨询专业律师：如果员工在赔偿过程中遇到任何问题或困难，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。