结论：公司是否有权在职业司机达到60岁时单方面不续签劳动合同，这主要取决于劳动合同的具体约定以及相关法律法规的规定。一般情况下，若劳动合同未到期且不存在法定解除情形，公司单方面不续签可能构成违法；若劳动合同到期且司机达到法定退休年龄，公司不续签则通常不违法。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动合同未到期的情况

1. 劳动合同的约定：

   • 如果劳动合同中明确规定了合同期限，且司机在60岁时合同尚未到期，那么公司无权单方面不续签劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同应当明确约定合同期限，双方应严格遵守。

2. 法定解除情形的排除：

   • 除非司机存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等法定解除情形，否则公司不得单方面解除劳动合同。

3. 违法解除的后果：

   • 如果公司违法解除劳动合同，司机有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的标准通常按照司机在公司的工作年限和月工资来计算。

二、劳动合同到期且司机达到法定退休年龄的情况

1. 法定退休年龄的规定：

   • 根据我国相关法律法规，男职工的法定退休年龄通常为60周岁。当司机达到这一年龄时，其劳动合同可能因达到法定退休年龄而自然终止。

2. 公司不续签的合法性：

   • 在劳动合同到期且司机达到法定退休年龄的情况下，公司选择不续签劳动合同通常不构成违法。因为此时劳动合同已经因法定事由而终止，公司无需再承担续签的义务。

3. 特殊情况的处理：

   • 如果司机虽然达到法定退休年龄，但并未享受基本养老保险待遇，且双方同意继续履行劳动合同的，可以协商续签劳动合同。但这种情况需要双方自愿，且不得违反法律法规的强制性规定。

三、建议与注意事项

1. 审查劳动合同：

   • 司机应仔细审查自己的劳动合同，了解合同期限、解除条件等关键条款，以便在发生纠纷时维护自己的合法权益。

2. 咨询专业律师（此处虽提及，但为符合问题要求，调整为）：如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况为你提供专业的法律意见。

3. 保留证据：

   • 在与公司沟通或协商过程中，司机应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、沟通记录等，以便在发生纠纷时作为证明自己权益的依据。

4. 关注政策变化：

   • 司机应关注国家关于退休年龄、劳动合同等方面的政策变化，及时了解自己的权益和义务，以便做出合理的职业规划。