结论：商家在小孩买错生日蛋糕的情况下拒绝退款，是否合理需分情况讨论，主要取决于购买时双方约定、商家销售政策及是否存在法定解除合同情形。以下为具体分析：

1. 若购买时商家明确告知“不退不换”且消费者同意
   根据《消费者权益保护法》第二十六条，经营者以格式条款（如店堂告示、商品说明）作出排除或限制消费者权利的，其内容无效，但若商家在销售时以显著方式（如加粗字体、口头明确告知）提示消费者“定制蛋糕/易腐食品不退不换”，且消费者当场表示同意（如签字确认或口头认可），则该约定可能被认定为有效。此时商家拒绝退款具有合同依据，消费者难以主张退款。

2. 若商家未尽到提示义务或蛋糕存在质量问题

   • 未提示风险：若商家未以显著方式告知“不退不换”条款，或未在消费者购买时明确说明（如未口头提醒、未在订单上标注），则该条款可能因未履行提示义务而被认定无效（《民法典》第四百九十六条）。此时消费者有权以“重大误解”或“显失公平”为由要求撤销合同并退款。
     
   • 蛋糕质量问题：若蛋糕存在质量问题（如过期、变质、与约定款式不符），根据《消费者权益保护法》第二十四条，消费者可要求退货、换货或修理，商家不得拒绝。此时需保留证据（如照片、视频、购买凭证）以支持主张。

3. 若蛋糕属于定制商品且无质量问题
   定制蛋糕（如特定图案、文字、尺寸）因具有个人专属属性，通常被认定为“承揽合同”中的定作物品。根据《民法典》第七百八十七条，定作人在承揽人完成工作前可随时解除合同，但需赔偿承揽人损失；若工作已完成，定作人无正当理由拒绝接收的，承揽人可主张报酬。因此，若蛋糕已制作完成且无质量问题，商家拒绝退款可能合法，但消费者可尝试与商家协商部分补偿（如折扣购买、转售他人）。

建议行动步骤：

1. 核查购买凭证：检查订单、收据或聊天记录，确认商家是否提前告知“不退不换”条款，以及蛋糕是否为定制商品。
   
2. 与商家协商：以友好态度说明情况（如小孩误选、家庭计划变更），尝试争取退款或换货；若商家坚持拒绝，可提出部分补偿方案（如支付一定费用后退货）。
   
3. 投诉或诉讼：若协商无果且商家存在未提示风险、蛋糕质量问题等情形，可向当地消费者协会投诉（12315）或通过法院起诉主张权利。
   

提示：日常购买易腐食品（如蛋糕）时，建议提前与商家确认退换货政策，并在订单上注明需求（如“若选错款式可更换”），以降低纠纷风险。