商家因发错蛋糕导致生日庆祝受影响，赔偿方式需根据具体情况而定，但通常可能包括退款、补偿或赔偿损失等。以下是对此问题的详细分析：

1. 合同违约责任：

   • 商家与消费者之间形成了买卖合同关系，商家有义务按照约定提供正确的商品。
   • 发错蛋糕构成违约，商家应承担相应的违约责任。

2. 赔偿方式：

   • 退款：商家应退还消费者支付的全部或部分款项，具体金额可根据蛋糕的实际价值、消费者的损失以及商家的过错程度来确定。
   • 补偿：商家可以提供一定的补偿，如提供免费的蛋糕、优惠券或礼品等，以弥补消费者的不便和损失。
   • 赔偿损失：如果消费者的生日庆祝因发错蛋糕而受到严重影响，如无法及时更换蛋糕导致庆祝活动取消或氛围受损，商家应赔偿因此造成的直接和间接损失。

3. 证据收集与协商：

   • 消费者应保留购买凭证、蛋糕照片、与商家的沟通记录等证据，以便在协商或诉讼时使用。
   • 双方可通过友好协商解决赔偿事宜，如无法达成一致，消费者可考虑向消费者协会投诉或提起民事诉讼。

4. 特殊情况的考虑：

   • 如果商家在发货前已明确告知消费者可能存在的风险，并得到了消费者的同意，那么商家的责任可能会相应减轻。
   • 如果消费者的损失是由于不可抗力或第三方原因导致的，商家可能不承担全部责任。

综上所述，商家因发错蛋糕导致生日庆祝受影响时，应根据具体情况承担相应的赔偿责任。消费者应保留好相关证据，与商家进行协商，并在必要时寻求法律途径来维护自己的合法权益。如有进一步的问题或需要详细的法律建议，请直接向我咨询。