结论：针对您描述的情况，即员工入职时签订了有固定期限的合同，合同到期后员工继续在单位工作但合同未续签，这主要涉及到劳动合同的续签问题以及未续签可能产生的法律后果。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

1. 劳动合同的续签义务：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，用人单位和劳动者都有权选择是否续签劳动合同。若双方均同意续签，则应在合同期满前或期满后合理时间内完成续签手续。
   • 在您描述的情况下，合同到期后员工继续在单位工作，这实际上形成了事实上的劳动关系。尽管双方未续签书面合同，但员工的劳动行为已经表明其愿意继续为用人单位提供劳动，用人单位也接受了这种劳动。

2. 未续签劳动合同的法律后果：

   • 视为订立无固定期限劳动合同：根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。在您的情况下，如果合同到期后员工继续工作超过一年且未续签书面合同，则可能被视为已订立无固定期限劳动合同。
   • 双倍工资赔偿：如果用人单位未在合同到期后及时与员工续签书面合同，且不符合视为订立无固定期限劳动合同的情形，那么根据《劳动合同法》的规定，用人单位可能需要向员工支付双倍工资作为赔偿。具体来说，是从合同到期后满一个月的次日起，至双方补订书面劳动合同的前一日止，按日计算双倍工资。

3. 建议与措施：

   • 及时补签合同：为了避免可能的法律纠纷和赔偿，用人单位应尽快与员工补签书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
   • 沟通协商：在补签合同前，用人单位可以与员工进行沟通协商，了解员工的意愿和需求，以便更好地达成共识。
   • 保留证据：用人单位应保留好与员工之间的沟通记录、工作记录等证据，以备不时之需。

4. 特殊情况考虑：

   • 如果员工在合同到期后继续工作，但双方对续签合同存在分歧或争议，那么用人单位应谨慎处理，避免采取过激或违法的行为。在这种情况下，建议用人单位寻求专业法律意见，以便更好地维护自身权益。

总结与进一步行动建议：针对您描述的情况，我建议用人单位尽快与员工补签书面劳动合同，以明确双方的权利和义务，并避免可能的法律纠纷和赔偿。如果双方在续签合同上存在分歧或争议，或者您对具体情况有进一步的疑问，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议。