结论：执行公务时自己摔伤，若损伤严重且符合伤残评定标准，是可以申请伤残评定的；但能否获得相应的赔偿，则取决于是否存在第三方责任以及具体的法律规定。
详细分析：
评残的可能性与条件
- 损伤程度：执行公务时自己摔伤，关键在于摔伤是否对身体造成了较为严重的损伤，并且这些损伤是否符合国家相关伤残评定标准中的具体条款。例如，骨折导致肢体功能明显障碍、颅脑损伤造成智力下降或精神障碍、脊柱损伤导致肢体感觉或运动功能障碍等，都可能构成伤残。
- 评残流程：无论是否存在第三方责任，若损伤严重且符合评残条件，您都可以选择具有合法资质的司法鉴定机构进行伤残鉴定。鉴定时，需准备完整的病历、诊断证明、检查报告、影像学资料以及事故经过说明等材料。鉴定机构会安排专业人员进行身体检查，并结合提交的材料进行评定，最终出具正式的鉴定报告。
赔偿的可能性与条件
- 存在第三方责任：如果摔伤是由于交通事故、第三方侵权等含有第三方责任的情况导致，您通常有权依据伤残鉴定结果向相关责任方提出赔偿要求。这包括医疗费、护理费、残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
- 不存在第三方责任：若摔伤是因个人原因（如执行公务时因自身疏忽或意外导致）且无第三方责任，虽然您仍可以进行伤残鉴定以了解自己的伤残情况，但通常不能依据鉴定结果向第三方索赔。不过，根据《工伤保险条例》的规定，如果您在执行公务时受伤，且该受伤被认定为工伤，那么您可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
特殊情况处理
- 工伤认定：执行公务时受伤，若符合工伤认定的条件（如工作时间、工作场所内因工作原因受伤），您应及时向用人单位报告，并由用人单位在规定时间内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。工伤认定后，您可以享受相应的工伤保险待遇。
- 法律援助：如果您在评残或赔偿过程中遇到困难或疑问，可以寻求法律援助或咨询专业律师（比如我，杨翠菊律师，专注于劳动纠纷、工伤赔偿领域），以获取更具体的法律建议和帮助。
建议与行动：
- 及时就医并保留证据：执行公务时摔伤后，应立即就医并保留好所有医疗记录和相关证据，以便后续评残和赔偿时使用。
- 了解工伤认定流程：如果摔伤符合工伤认定的条件，应及时向用人单位报告并了解工伤认定流程，以便及时享受工伤保险待遇。
- 咨询专业律师：如果您在评残或赔偿过程中遇到任何问题或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。
总之，执行公务时自己摔伤能否评残并获得赔偿，取决于损伤程度、是否存在第三方责任以及具体的法律规定。希望以上分析能对您有所帮助。