劳务派遣工死亡的责任承担需根据具体情况判定，可能涉及劳务派遣单位、用工单位的共同或单独责任。以下是对此问题的详细分析：
一、认定为工伤的情形
工伤认定标准：
- 根据《工伤保险条例》，劳务派遣员工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡或在48小时内经抢救无效死亡，视同工伤。此外，若员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，也应当认定为工伤。
责任承担：
- 工伤保险基金支付：若劳务派遣单位为员工依法缴纳了工伤保险费，丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等由工伤保险基金支付。其中，丧葬补助金一般为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 劳务派遣单位支付：若未缴纳工伤保险，上述费用由劳务派遣单位承担。
- 用工单位责任：虽然用工单位不是工伤保险的缴费主体，但若员工的死亡是由于其过错导致，如提供的工作环境存在严重安全隐患，则用工单位需承担相应的侵权赔偿责任或与劳务派遣单位共同承担的工伤赔偿责任。
二、不属于工伤的情形
非工伤认定：
- 若猝死不符合工伤认定条件，如非工作时间和工作岗位发生，或非因工作原因导致，则无法获得工伤保险赔偿。
责任划分：
- 侵权责任：若用工单位或第三人对员工死亡存在过错（如设备缺陷、侵权行为），需根据《民法典》等承担侵权赔偿责任。例如，若用工单位未提供必要的安全防护措施，导致员工在工作中受伤死亡，用工单位需承担相应的赔偿责任。
- 自身疾病原因：若猝死因自身疾病且与工作无直接关联，用工单位和劳务派遣单位一般不需承担赔偿责任，但可根据情况给予人道主义补偿。然而，若员工在工作时间和工作岗位上因自身疾病突发死亡，且该疾病与工作有一定的关联性（如长期劳累导致的心脏病发作），则可能构成工伤，此时应按照工伤处理。
- 用工单位主要责任：根据《劳动合同法》，虽然劳务派遣员工与派遣公司签订合同，但实际在用工单位指挥下工作。因此，用工单位应提供必要劳动保护和条件，并对其工作中的伤亡承担责任。若猝死因用工单位未能提供必要保护或条件导致，需承担相应赔偿责任。
- 劳务派遣单位责任：作为正式雇主，劳务派遣公司也需承担一定责任，如协助处理事宜、提供支持等。若派遣过程中存在过错或疏忽导致员工猝死，也需承担法律责任。例如，若劳务派遣单位未对员工进行必要的岗前培训，导致员工在工作中因操作不当而受伤死亡，劳务派遣单位需承担相应的赔偿责任。
三、双方约定责任
内部约定：
- 劳务派遣单位和用工单位通常会在劳务派遣协议中对员工工伤、伤亡等情况的责任分担进行约定。这种约定在不违反法律法规强制性规定的情况下，对双方具有约束力，但不能对抗劳动者或其家属的法定权利主张。
对外责任：
- 即使协议中有关于责任分担的约定，劳动者或其家属仍有权向任何一方或双方主张权利。劳务派遣单位在依法承担责任后，可依据协议向用工单位进行追偿。
四、实际操作建议
- 在发生劳务派遣人员工作期间死亡的事件时，家属应首先申请工伤认定，以确定责任主体和赔偿范围。工伤认定是确定工伤赔偿的前提和基础，只有经过工伤认定，才能确定员工是否构成工伤，以及应由哪个主体承担赔偿责任。
- 家属在申请工伤认定的同时，可以收集相关证据，如事故现场的监控录像、证人证言、医疗记录等，以证明员工的死亡与工作有关，以及用工单位或劳务派遣单位存在过错。
- 若对责任划分或赔偿标准存在争议，可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式解决。在解决争议的过程中，家属可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。
综上所述，劳务派遣工死亡的责任承担涉及多个方面，包括劳务派遣单位的工伤保险责任、用工单位的过错责任以及双方之间的约定责任。在实际操作中，应综合考虑各种因素，确保责任得到合理划分和承担。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。