结论前置：员工生病不能来单位请假，若处于法定医疗期内且不存在严重违反公司规章制度等法定情形，公司一般不可以开除员工；若医疗期满后员工不能从事原工作或另行安排的工作，公司可以依法解除劳动合同。以下为详细分析：

一、医疗期内公司不得随意解除劳动合同

根据《劳动合同法》及相关规定，员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得随意解除劳动合同。医疗期的具体长度根据员工的工作年限而定，一般为三个月到二十四个月不等。

1. 医疗期内的保护：在医疗期内，员工享有病假工资、医疗费用报销等权益，公司不得因员工生病请假而开除员工。若公司在此期间开除员工，可能构成违法解除劳动合同。

2. 违法解除的后果：若公司违法解除劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

二、医疗期满后公司可依法解除劳动合同的情形

若员工医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。

1. 解除劳动合同的程序：公司在解除劳动合同时，应遵循法定程序，如提前通知、支付经济补偿等。若公司未履行法定程序，可能构成违法解除劳动合同。

2. 经济补偿的计算：在此情况下，公司需按员工在本单位工作的年限支付经济补偿，标准同上。即每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

三、员工严重违反公司规章制度等法定情形的处理

若员工存在严重违反公司规章制度等法定情形，如旷工、严重失职等，即使员工处于病假期间，公司也有权依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。

1. 规章制度的合法性：公司规章制度应合法有效，且已向员工公示或告知。若规章制度违法或未向员工公示，公司不得依据该规章制度解除劳动合同。

2. 解除劳动合同的合法性：公司在解除劳动合同时，应确保解除行为合法合规，如收集员工违反规章制度的证据、履行法定程序等。若公司解除行为违法，员工有权要求公司支付赔偿金。

四、建议与措施

1. 员工方面：若员工生病请假期间被公司开除，应首先确认解除劳动合同的合法性，并收集相关证据（如劳动合同、病假条、解除劳动合同通知等）。在尝试与公司协商解决无果后，可通过劳动仲裁或诉讼途径维护自己的合法权益。

2. 公司方面：公司在处理员工生病请假事宜时，应遵守法律法规和公司规章制度，确保解除劳动合同的合法性和合规性。若需解除劳动合同，应提前与员工沟通并履行法定程序，避免引发劳动纠纷。

举例说明：假设员工小张因生病向公司请假，处于医疗期内。公司认为小张长期请假影响工作，决定开除小张。在此情况下，公司开除小张的行为可能构成违法解除劳动合同，因为小张处于医疗期内且未违反公司规章制度。小张有权要求公司支付赔偿金或恢复劳动关系。

后续思考依据：在处理此类劳动纠纷时，应重点关注医疗期的长度、员工是否违反公司规章制度、公司解除劳动合同的程序是否合法等因素。若员工对公司解除劳动合同的行为有异议，可通过劳动仲裁或诉讼途径解决争议。

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