核心结论：根据《劳动合同法》相关规定，若私人企业违法解除劳动合同，您有权主张赔偿金；若企业合法解除，则可能仅需支付经济补偿或无需支付。具体赔偿需结合解除原因判断，以下分情况说明：

1. 企业违法解除劳动合同（最常见情形）

• 法律依据：根据《劳动合同法》第48条、87条，企业无正当理由单方解除劳动合同（如未提前30日通知、无合法理由等），属于违法解除。
• 赔偿标准：您可主张2倍经济补偿作为赔偿金。经济补偿按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，不满6个月支付半个月工资。您仅工作10余天（不满6个月），经济补偿为半个月工资，因此赔偿金为1个月工资。
• 关键点：需企业无法证明解除合法性（如无法提供您严重违纪、不能胜任工作等证据）。

2. 企业合法解除劳动合同（需满足法定条件）

• 情形一：试用期不符合录用条件
  • 若合同约定试用期（3年合同试用期最长6个月），且企业能证明您不符合录用条件（如未通过考核、提供虚假信息等），可合法解除，无需支付赔偿金或经济补偿。
  • 注意：企业需举证证明录用条件及您不符合的事实，否则可能被认定为违法解除。
• 情形二：您主动提出解除或存在过错
  • 若您因个人原因主动离职，或存在严重违纪、失职等行为，企业解除合同合法，无需支付赔偿。

3. 企业未签书面合同或未缴社保的额外责任

• 未签合同：若企业未在入职1个月内与您签订书面合同，您可主张自第2个月起至离职日的双倍工资差额（但您仅工作10余天，可能不涉及）。
• 未缴社保：您可要求企业补缴工作期间的社会保险，或向劳动监察部门投诉。

行动建议

1. 收集证据：保留劳动合同、工资条、辞退通知、沟通记录等，证明劳动关系及解除事实。
2. 协商解决：与企业沟通，要求按违法解除支付赔偿金（1个月工资）及补缴社保。
3. 申请仲裁：若协商无果，可向当地劳动仲裁委员会提起仲裁，主张赔偿金、未签合同差额（如有）及补缴社保。

温馨提示：劳动争议案件中，企业解除合法性是核心争议点。若您对解除原因有异议，建议尽快咨询以梳理证据链，提高维权成功率。