在民事工程承揽费鉴定有异议的情况下，质证环节既可能由被告提出，也可能由法院依职权组织，具体取决于案件的实际情况和法院的判断。以下是对这一问题的详细分析：

一、被告提出开庭质证

1. 被告的权利：在民事诉讼中，被告作为诉讼的一方，有权对原告提出的证据进行质证，包括对工程承揽费鉴定报告的质证。如果被告对鉴定报告有异议，认为其存在错误或不合理之处，可以向法院提出质证申请，要求鉴定人出庭接受询问或提供其他证据来支持其异议。

2. 质证程序：被告提出质证申请后，法院会根据案件情况决定是否组织质证。如果法院认为有必要，会通知鉴定人出庭，并安排双方当事人进行质证。在质证过程中，被告可以就鉴定报告的合法性、真实性、关联性等方面提出质疑，并要求鉴定人进行解释或说明。

二、法院组织质证

1. 法院的职权：法院在民事诉讼中具有组织质证的职权。当法院认为需要对工程承揽费鉴定报告进行质证时，可以依职权组织质证。这通常发生在被告未提出质证申请，但法院认为鉴定报告存在疑问或需要进一步核实的情况下。

2. 质证目的：法院组织质证的目的是为了确保鉴定报告的合法性、真实性和关联性，从而保障诉讼的公正性和效率。通过质证，法院可以更全面地了解案件事实，为作出公正判决提供依据。

三、实际操作中的注意事项

1. 及时提出异议：如果被告对工程承揽费鉴定报告有异议，应及时向法院提出，并说明异议的理由和依据。逾期提出异议可能会影响法院对异议的审查和处理。

2. 准备充分证据：被告在提出异议时，应准备充分的证据来支持其异议。这可以包括其他相关证据、专家意见或鉴定报告等，以证明鉴定报告存在错误或不合理之处。

3. 遵守质证程序：在质证过程中，被告应遵守质证程序，尊重鉴定人和对方当事人的权利。不得进行人身攻击或恶意诋毁等行为，以免影响质证的公正性和效率。

建议：在实际操作中，如果被告对工程承揽费鉴定报告有异议，建议及时咨询专业律师，了解具体的质证程序和策略。律师可以根据案件情况为被告提供专业的法律意见和帮助，确保被告的权益得到充分保障。同时，被告也应积极配合律师的工作，提供必要的证据和信息，以便律师更好地为其辩护。